Равнобокая трапеция с основанием 10 см и 18см и высотой 3 см вращается около меньшего основания . найдите обьем фигуры вращения

Давайте подробно решим задачу по вычислению объема фигуры вращения, полученной при вращении равнобокой трапеции вокруг её меньшего основания. **Дано:** - Величина меньшего основания (нижнего): \( a = 10\, \text{см} \) - Величина большего основания (верхнего): \( b = 18\, \text{см} \) - Высота трапеции: \( h = 3\, \text{см} \) - Ось вращения: вокруг меньшего основания (ось, расположенная по линии меньшего основания, то есть по нижней базе) --- ### Шаг 1: Найдём геометрию трапеции Поскольку трапеция равнобока, то её боковые стороны равны, и высота проходит через середины боковых сторон. ### Шаг 2: Построение и определения Обозначим: - Нижнее основание: длина \( a = 10\, \text{см} \) - Верхнее основание: длина \( b = 18\, \text{см} \) - Высота: \( h = 3\, \text{см} \) Рассмотрим трапецию, расположенную так, что её меньшая сторона лежит на оси вращения. ### Шаг 3: Построение координат Пусть нижнее основание лежит по оси \( x \), и его левый конец в точке \((0, 0)\). Тогда: - левый конец нижнего основания: \((0,0)\) - правый конец нижнего основания: \((10,0)\) Вертикальный отрезок вверх: высота \( h = 3\, \text{см} \). Поскольку трапеция равнобока, верхнее основание будет симметрично относительно вертикальной линии, проходящей через середину нижнего основания. Находим середину нижнего основания: \( x = 5\, \text{см} \). Вертикальный отрезок вверх на этой оси: \( (5, 3) \). Длина верхнего основания: \( 18\, \text{см} \). Следовательно, верхнее основание по горизонтальной оси: - Левая точка верхнего основания: \( x = 5 - 9 = -4\, \text{см} \) - Правая точка верхнего основания: \( x = 5 + 9 = 14\, \text{см} \) Итак, верхнее основание — от \((-4, 3)\) до \((14, 3)\). ### Шаг 4: Определение линий боковых сторон Боковые стороны — равные, и мы можем взять их уравнение. Проведем линии от нижних концов до верхних. - Левая боковая сторона: через точки \((0,0)\) и \((-4,3)\) - Правая боковая сторона: через точки \((10,0)\) и \((14,3)\) Для каждой стороны запишем уравнение. --- ### Шаг 5: Уравнения боковых сторон **Левая боковая сторона:** Точки: - \( A(0, 0) \) - \( B(-4, 3) \) Координатный вектор: \( \vec{AB} = (-4, 3) \) Уравнение прямой по точке \(A\): \[ y = k (x - 0) = k x \] где \(k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3 - 0}{-4 - 0} = -\frac{3}{4}\) Итак: \[ y = -\frac{3}{4} x \] Отрицательное, так как линия идёт вниз с левого нижнего угла. **Правая боковая сторона:** Точки: - \( C(10, 0) \) - \( D(14, 3) \) Координатный вектор: \[ \vec{CD} = (4, 3) \] Коэффициент наклона: \[ k = \frac{3 - 0}{14 - 10} = \frac{3}{4} \] Уравнение: \[ y = \frac{3}{4}(x - 10) \] --- ### Шаг 6: Формирование функции для радиуса вращения Поскольку вращение происходит вокруг оси, расположенной около меньшего основания (ось \(x = 0\)), то радиус вращения для любой точки с координатой \(x\) — это расстояние до оси \(x=0\), то есть: \[ R(x) = |x| \] Пределы интегрирования по \(x\): - левый конец: \(x = -4\) - правый конец: \(x = 14\) Для удобства, рассмотрим график и разделим интеграл по частям: - с \(x = -4\) до \(0\), где радиус равен \(|x| = -x\), - с \(x = 0\) до \(14\), где радиус равен \(x\). --- ### Шаг 7: Вычисление объема Объем тела при вращении вокруг вертикальной оси рассчитывается по формуле: \[ V = \pi \int_{x_{min}}^{x_{max}} [R(x)]^2 dx \] разделим на две части: \[ V = \pi \left( \int_{-4}^{0} (-x)^2 dx + \int_{0}^{14} x^2 dx \right) \] ### Шаг 8: Вычисляем интегралы **Первая часть:** \[ \int_{-4}^{0} x^2 dx \] заметим, что \( (-x)^2 = x^2 \), так что интеграл по обе стороны одинаковый. \[ V = \pi \left( \int_{-4}^{0} x^2 dx + \int_{0}^{14} x^2 dx \right) \] Общий объем: \[ V = \pi \left( 2 \int_0^{4} x^2 dx + \int_4^{14} x^2 dx \right) \] Но проще оставить исходные интегралы: \[ V = \pi \left( \int_{-4}^{0} x^2 dx + \int_0^{14} x^2 dx \right) \] так как \(x^2 \ge 0\), и радиусом на интервале \(x<0\) будет \(-x\). --- ### Шаг 9: Вычисляем конкретные интегралы \[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \] **Общий объем:** \[ V = \pi \left[ \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-4}^{0} + \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^{14} \right] \] Посчитаем: \[ \int_{-4}^{0} x^2 dx = \frac{0^3}{3} - \frac{(-4)^3}{3} = 0 - \frac{-64}{3} = \frac{64}{3} \] \[ \int_0^{14} x^2 dx = \frac{14^3}{3} - 0 = \frac{2744}{3} \] Следовательно, \[ V = \pi \left( \frac{64}{3} + \frac{2744}{3} \right) = \pi \frac{2808}{3} = \pi \times 936 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ V = 936 \pi \text{ кубических сантиметров} } \] или приблизительно: \[ V \approx 936 \times 3.1416 \approx 2940.8\, \text{см}^3 \] --- Если нужно, я могу помочь с более простым объяснением или уточнениями!