равнобокая трапеция с основанием 10 см и 18см и высотой 3 см вращается около меньшего основания . найдите обьем фигуры вращения
Давайте подробно решим задачу по вычислению объема фигуры вращения, полученной при вращении равнобокой трапеции вокруг её меньшего основания.
Дано:
- Величина меньшего основания (нижнего): \( a = 10\, \text{см} \)
- Величина большего основания (верхнего): \( b = 18\, \text{см} \)
- Высота трапеции: \( h = 3\, \text{см} \)
- Ось вращения: вокруг меньшего основания (ось, расположенная по линии меньшего основания, то есть по нижней базе)
Шаг 1: Найдём геометрию трапеции
Поскольку трапеция равнобока, то её боковые стороны равны, и высота проходит через середины боковых сторон.
Шаг 2: Построение и определения
Обозначим:
- Нижнее основание: длина \( a = 10\, \text{см} \)
- Верхнее основание: длина \( b = 18\, \text{см} \)
- Высота: \( h = 3\, \text{см} \)
Рассмотрим трапецию, расположенную так, что её меньшая сторона лежит на оси вращения.
Шаг 3: Построение координат
Пусть нижнее основание лежит по оси \( x \), и его левый конец в точке \((0, 0)\).
Тогда:
- левый конец нижнего основания: \((0,0)\)
- правый конец нижнего основания: \((10,0)\)
Вертикальный отрезок вверх: высота \( h = 3\, \text{см} \).
Поскольку трапеция равнобока, верхнее основание будет симметрично относительно вертикальной линии, проходящей через середину нижнего основания.
Находим середину нижнего основания: \( x = 5\, \text{см} \).
Вертикальный отрезок вверх на этой оси: \( (5, 3) \).
Длина верхнего основания: \( 18\, \text{см} \). Следовательно, верхнее основание по горизонтальной оси:
- Левая точка верхнего основания: \( x = 5 - 9 = -4\, \text{см} \)
- Правая точка верхнего основания: \( x = 5 + 9 = 14\, \text{см} \)
Итак, верхнее основание — от \((-4, 3)\) до \((14, 3)\).
Шаг 4: Определение линий боковых сторон
Боковые стороны — равные, и мы можем взять их уравнение.
Проведем линии от нижних концов до верхних.
- Левая боковая сторона: через точки \((0,0)\) и \((-4,3)\)
- Правая боковая сторона: через точки \((10,0)\) и \((14,3)\)
Для каждой стороны запишем уравнение.
Шаг 5: Уравнения боковых сторон
Левая боковая сторона:
Точки:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(-4, 3) \)
Координатный вектор: \( \vec{AB} = (-4, 3) \)
Уравнение прямой по точке \(A\):
\[ y = k (x - 0) = k x \]
где \(k = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{3 - 0}{-4 - 0} = -\frac{3}{4}\)
Итак:
\[ y = -\frac{3}{4} x \]
Отрицательное, так как линия идёт вниз с левого нижнего угла.
Правая боковая сторона:
Точки:
- \( C(10, 0) \)
- \( D(14, 3) \)
Координатный вектор:
\[ \vec{CD} = (4, 3) \]
Коэффициент наклона:
\[ k = \frac{3 - 0}{14 - 10} = \frac{3}{4} \]
Уравнение:
\[ y = \frac{3}{4}(x - 10) \]
Шаг 6: Формирование функции для радиуса вращения
Поскольку вращение происходит вокруг оси, расположенной около меньшего основания (ось \(x = 0\)), то радиус вращения для любой точки с координатой \(x\) — это расстояние до оси \(x=0\), то есть:
\[ R(x) = |x| \]
Пределы интегрирования по \(x\):
- левый конец: \(x = -4\)
- правый конец: \(x = 14\)
Для удобства, рассмотрим график и разделим интеграл по частям:
- с \(x = -4\) до \(0\), где радиус равен \(|x| = -x\),
- с \(x = 0\) до \(14\), где радиус равен \(x\).
Шаг 7: Вычисление объема
Объем тела при вращении вокруг вертикальной оси рассчитывается по формуле:
\[ V = \pi \int_{x_{min}}^{x_{max}} [R(x)]^2 dx \]
разделим на две части:
\[ V = \pi \left( \int_{-4}^{0} (-x)^2 dx + \int_{0}^{14} x^2 dx \right) \]
Шаг 8: Вычисляем интегралы
Первая часть:
\[ \int_{-4}^{0} x^2 dx \]
заметим, что \( (-x)^2 = x^2 \), так что интеграл по обе стороны одинаковый.
\[ V = \pi \left( \int_{-4}^{0} x^2 dx + \int_{0}^{14} x^2 dx \right) \]
Общий объем:
\[ V = \pi \left( 2 \int_0^{4} x^2 dx + \int_4^{14} x^2 dx \right) \]
Но проще оставить исходные интегралы:
\[ V = \pi \left( \int_{-4}^{0} x^2 dx + \int_0^{14} x^2 dx \right) \]
так как \(x^2 \ge 0\), и радиусом на интервале \(x<0\) будет \(-x\).
Шаг 9: Вычисляем конкретные интегралы
\[ \int x^2 dx = \frac{x^3}{3} \]
Общий объем:
\[ V = \pi \left[ \left. \frac{x^3}{3} \right|_{-4}^{0} + \left. \frac{x^3}{3} \right|_0^{14} \right] \]
Посчитаем:
\[ \int_{-4}^{0} x^2 dx = \frac{0^3}{3} - \frac{(-4)^3}{3} = 0 - \frac{-64}{3} = \frac{64}{3} \]
\[ \int_0^{14} x^2 dx = \frac{14^3}{3} - 0 = \frac{2744}{3} \]
Следовательно,
\[ V = \pi \left( \frac{64}{3} + \frac{2744}{3} \right) = \pi \frac{2808}{3} = \pi \times 936 \]
Ответ:
\[ \boxed{ V = 936 \pi \text{ кубических сантиметров} } \]
или приблизительно:
\[ V \approx 936 \times 3.1416 \approx 2940.8\, \text{см}^3 \]
Если нужно, я могу помочь с более простым объяснением или уточнениями!
