равнобокая трапеция с основанием 10 см и 18см и высотой 3 см вращается около меньшего основания . найдите обьем фигуры вращения
Давайте подробно разберем задачу о вращении равнобокой трапеции вокруг меньшего основания и вычислим объем образовавшейся фигуры (оборное тело).
Дано:
- Большое основание трапеции: \(18 \text{ см}\)
- Меньшее основание: \(10 \text{ см}\)
- Высота трапеции: \(3 \text{ см}\)
Задача:
Найти объем фигуры, полученной вращением трапеции вокруг меньшего основания (то есть ось вращения — это меньшая основа = 10 см).
Шаг 1: Понимание формы фигуры
При вращении трапеции вокруг меньшего основания (а у нас оно — горизонтальная линия длиной 10 см) получим твердое тело. В целом, это будет усеченный конусоподобный объект, так как трапеция расположена в плоскости, и при вращении вокруг своей меньшей основы ее грани образуют поверхность, похожую на конус с отсеченной верхушкой.
Шаг 2: Параметры трапеции
Обозначим:
- \(ABCD\) — трапеция, где \(AB\) и \(DC\) — основания, \(AB=18 \text{ см}\), \(DC=10 \text{ см}\),
- Высота \(h=3 \text{ см}\),
- Меньшее основание — \(DC=10 \text{ см}\),
- Большое основание — \(AB=18 \text{ см}\).
Обозначим координаты:
- Положим меньшую основу \(DC\) на оси \(x\), в точке \(D(0,0)\), \(C(10,0)\),
- Верхнюю основу \(AB\) расположим на высоте \(h=3\) см, в точках \(A(x_A,3)\), \(B(x_B,3)\).
Поскольку трапеция равнобока, ее боковые стороны — равны. Центр основания — середина нижней стороны:
- Центр нижней базы: \(O_D(5,0)\),
- Аналогично, центр верхней базы: \(O_A(4,3)\) (так как стороны равны, соотв. \(A\) и \(B\) расположены симметрично относительно центральной вертикальной линии).
Длина верхней базы — 18 см, расположена так, что середина верхней — в x=9 (при равнобокой трапеции) или более точно:
- Левая вершина верхней базы — \(A(x_A,3)\),
- Правая вершина \(B(x_B,3)\).
Из условии: \[ x_A = 10 - \frac{(18-10)}{2} = 10 - 4 = 6 \] \[ x_B = 10 + 4 = 14 \]
Итак: \[ A(6,3), \quad B(14,3) \]
Шаг 3: Построение тела вращения
При вращении трапеции вокруг основания \(DC\) (последняя — \(10\) см) поверхность, образуемая боковыми сторонами, будет иметь вид усеченного конуса.
- Радиус у основания (минимальная часть): \(R_{1} = 5\) см (так как \(DC\) — 10 см, центр — в середине).
- Радиус у верхней части, где расположены \(A\) и \(B\): радиус равен половине длины верхней базы, то есть:
\[ R_{2} = \frac{18}{2} = 9 \text{ см} \]
- Высота: \(h = 3 \text{ см}\).
Обратите внимание, что радиусы соответствуют расстоянию от оси вращения (ось — линия \(DC\)), она расположена на уровне \(x=0\), поэтому радиусы — горизонтальные расстояния до линии \(x=0\).
На самом деле, радиус у верхней части — это горизонтальное расстояние до оси вращения, то есть:
\[ R_{1} = 5 \text{ см} \] \[ R_{2} = 9 \text{ см} \]
Расстояние:
- Нижняя точка: \(x=0\), радиус \(R_1=5\) см,
- Верхняя точка: \(x=4\), радиус \(R_2=9\) см (учитывая координаты \(A(6,3)\) и \(B(14,3)\) и расстояние до оси \(x=0\)).
Если перемещать эти точки вокруг оси, получим усеченную конусную поверхность с радиусами \(R_1=5\) см и \(R_2=9\) см, а высота — расстояние по оси вращения (касается \(x\), то есть фигура расширяется горизонтально).
Шаг 4: Формула объема усеченного конуса
Объем усеченного конуса по формуле:
\[ V = \frac{1}{3} \pi h \left( R_1^2 + R_1 R_2 + R_2^2 \right) \]
где:
- \(R_1 = 5 \text{ см}\),
- \(R_2 = 9 \text{ см}\),
- \(h = 3 \text{ см}\).
Подставим значения:
\[ V = \frac{1}{3} \pi \times 3 \left( 5^2 + 5 \times 9 + 9^2 \right) \]
Упростим:
\[ V = \pi \left( 25 + 45 + 81 \right) \] \[ V = \pi \times 151 \]
Итак,
\[ \boxed{ V = 151\pi \approx 151 \times 3.14 \approx 473.54 \text{ см}^3 } \]
Итог:
Объем фигуры, образованной вращением равнобокой трапеции с основаниями 10 см и 18 см и высотой 3 см вокруг меньшего основания, примерно равен:
\[ \boxed{ V \approx 473.54 \text{ см}^3 } \]
Если есть дополнительные уточнения или нужны пояснения, я с радостью помогу!
