Окружности хорды MN и PR, пересекаются в точно O. Хорда PR делится точкой O на отрезкеPO=9 см, OR=9 см, а хорда MN на отрезки один из которых в 2 раза больше другого. Найди длину MN

Давайте подробно разберем задачу и пошагово решим ее. **Дано:** - Хорды MN и PR пересекаются в точке O. - Хорда PR делится точкой O на отрезки PO и OR, причем PO = 9 см, OR = 9 см, следовательно, PO = OR. - Хорда MN делится точкой O на два отрезка, один из которых в 2 раза больше другого. Обозначим эти отрезки как MO и ON. - Нужно найти длину хорды MN. --- ### Шаг 1: Анализ данных Из условия: - \( PO = OR = 9 \) см, значит, PR делится в точке O на равные части. - Так как PR делится в O и эти части равны, тогда: \[ PO = OR = 9 \text{ см} \] Следовательно, длина хорды PR равна: \[ PR = PO + OR = 9 + 9 = 18 \text{ см} \] ### Шаг 2: Свойство о пересекающихся хордах - В круге, если две хорды пересекаются, то произведения отрезков, на которые они делятся при пересечении, равны: \[ \text{Для хорды PR:} \quad PO \times OR = \text{произведение отрезков PR} \] - Аналогично для хорды MN: \[ MO \times ON \] Также по условию: - Одна из частей хорды MN в 2 раза больше другой: \[ MO = 2 \times ON \quad \text{или} \quad ON = 2 \times MO \] Обозначим: \[ ON = x \] Тогда: \[ MO = 2x \] ### Шаг 3: Использование свойства о пересекающихся хордах - Из свойства о пересечении хордами в круге: \[ MO \times ON = PO \times OR \] Подставляем известные значения: \[ (2x) \times x = 18 \] Это уравнение: \[ 2x^2 = 18 \] ### Шаг 4: Решение уравнения Решим уравнение: \[ x^2 = \frac{18}{2} = 9 \] \[ x = \pm 3 \] Так как длина отрезка не может быть отрицательной, возьмем: \[ x = 3 \] ### Шаг 5: Нахождение длины хорды MN - Тогда: \[ ON = 3 \text{ см} \] \[ MO = 2 \times 3 = 6 \text{ см} \] - Длина хорды MN равна сумме этих отрезков: \[ MN = MO + ON = 6 + 3 = 9 \text{ см} \] --- ### Итог: **Длина хорды MN равна 9 см.** Если есть еще вопросы или нужно дополнительно объяснить, — с удовольствием помогу!