Рассмотрим задачу и обозначим искомые величины:
- Пусть x — количество квадратных метров плитки, которую укладывает в день второй каменщик.
- Тогда x + 5 — количество квадратных метров плитки, укладываемых в день первым каменщиком.
- Обе работы — укладка двух одинаковых участков по 200 м², то есть каждое задание — 200 м².
Также известно, что:
- Первый каменщик укладывает на 5 м² больше в день.
- Первый каменщик выполняет работу на 2 дня быстрее.
Обозначим:
- t₂ — число дней, за которое второй каменщик укладывает свой участок.
- t₁ — число дней, за которое первый каменщик укладывает свой участок, причем t₁ = t₂ - 2.
Запишем уравнения:
Для второго каменщика:
[ x \times t_2 = 200 ]
Для первого каменщика:
[ (x + 5) \times t_1 = 200 ]
Так как t₁ = t₂ - 2, подставим:
[ (x + 5)(t_2 - 2) = 200 ]
Из уравнения для второго каменщика выразим t₂:
[ t_2 = \frac{200}{x} ]
Подставим в уравнение для первого:
[ (x + 5) \left( \frac{200}{x} - 2 \right) = 200 ]
Раскроем скобки:
[ (x + 5) \left( \frac{200 - 2x}{x} \right) = 200 ]
Распишем:
[ \frac{(x + 5)(200 - 2x)}{x} = 200 ]
Перемножим числитель:
[ (x + 5)(200 - 2x) = x \times 200 ]
Рассчитаем числитель:
[ x \times 200 - 2x^2 + 5 \times 200 - 10x ]
[ 200x - 2x^2 + 1000 - 10x ]
Объединим подобные:
[ (200x - 10x) - 2x^2 + 1000 = 190x - 2x^2 + 1000 ]
Теперь уравнение выглядит так:
[ \frac{190x - 2x^2 + 1000}{x} = 200 ]
Чтобы избавиться от деления, умножим обе части уравнения на x:
[ 190x - 2x^2 + 1000 = 200x ]
Перенесем всё в левую сторону:
[ 190x - 2x^2 + 1000 - 200x = 0 ]
Объединим подобные:
[ -2x^2 - 10x + 1000 = 0 ]
Упростим уравнение:
[ 2x^2 + 10x - 1000 = 0 ]
Разделим всё уравнение на 2:
[ x^2 + 5x - 500 = 0 ]
Теперь решим квадратичное уравнение:
[ x^2 + 5x - 500 = 0 ]
Найдём дискриминант:
[ D = 5^2 - 4 \times 1 \times (-500) = 25 + 2000 = 2025 ]
Корень дискриминанта:
[ \sqrt{D} = \sqrt{2025} = 45 ]
Решения уравнения:
[ x = \frac{-5 \pm 45}{2} ]
Рассмотрим оба варианта:
1.
[ x = \frac{-5 + 45}{2} = \frac{40}{2} = 20 ]
[ x = \frac{-5 - 45}{2} = \frac{-50}{2} = -25 ]
Поскольку число метров, укладываемых за день, не может быть отрицательным, принимаем x = 20.
Теперь найдём сколько метров укладывает первый каменщик в день:
[ x + 5 = 20 + 5 = 25 ]
Ответ: Первый каменщик укладывает 25 м² плитки в день.
