Давайте подробно разберём задачу с использованием неравенства Чебышева.
Исходные данные:
- Средний диаметр подшипника, обозначим как ( \mu = 24 ) мм
- Стандартное отклонение, обозначим как ( \sigma = 0,4 ) мм
- Требуется оценить вероятность события:
«Диаметр случайно выбранного подшипника отличается от среднего более чем на 0,8 мм».
Это событие можно записать как:
[ P(|X - \mu| > 0,8) ]
где (X) — случайная величина, диаметр подшипника.
Шаг 1: Использование неравенства Чебышева
Неравенство Чебышева гласит, что для любой случайной величины с математическими ожиданием (\mu) и стандартным отклонением (\sigma):
[
P(|X - \mu| \geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}
]
где (k > 0).
Шаг 2: Подготовка к применению
Нам нужно найти вероятность события, связанного с разницей более чем 0,8 мм от среднего.
Можем представить 0,8 мм через стандартное отклонение:
[
k = \frac{0,8}{\sigma} = \frac{0,8}{0,4} = 2
]
Шаг 3: Подставляем значение (k) в неравенство
Используя неравенство Чебышева:
[
P(|X - \mu| > 0,8) \leq P(|X - \mu| > k \sigma) \leq \frac{1}{k^2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0,25
]
Ответ:
По неравенству Чебышева, вероятность того, что диаметр случайного подшипника отклоняется от среднего более чем на 0,8 мм, не превышает 25% (0,25).
Если нужны дополнительные объяснения или есть вопросы — обращайтесь!
