Решим задачу пошагово.
Задача:
Нужно определить, сколькими способами можно выбрать двух ведущих из 7 подходящих человек, при условии, что ведущими будут именно два победителя муниципального этапа Всероссийской олимпиады школьников.
Что значит "выбор происходит случайным образом"?
Это означает, что нам нужно найти количество комбинаций без учета порядка: выбираем двух человек из группы из 7, и порядок выбранных не важен (ведущие — пара, их роли одинаковые).
Шаг 1: Постановка задачи
Количество вариантов выбрать 2 человек из 7 равняется числу сочетаний из 7 по 2, обозначается как ( C_7^2 ).
Шаг 2: Формула для сочетаний
Формула для количества сочетаний:
[
C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}
]
где:
- ( n ) — общее число элементов,
- ( k ) — число выбираемых элементов,
- ( ! ) — факториал.
В нашем случае:
[
C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2! \times 5!}
]
Шаг 3: Подсчет
Рассчитаем:
[
7! = 7 \times 6 \times 5!
]
Подставим в формулу:
[
C_7^2 = \frac{7 \times 6 \times 5!}{2! \times 5!}
]
( 5! ) в числителе и знаменателе сокращаются:
[
C_7^2 = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = \frac{42}{2} = 21
]
Ответ:
Количество способов выбрать двух ведущих из 7 подходящих человек равно (\boxed{21}).
