Давайте подробно разберем задачу по шагам.
Задача:
- Есть прибор из 10 узлов.
- Вероятность безотказной работы каждого узла за время t равна ( p = 0,8 ).
- Узлы выходят из строя независимо.
- Нужно найти вероятность того, что за время t откажут ровно 4 узла.
Шаг 1. Определение условий модели
Это классическая задача на вероятность в биномиальной модели:
- Общее число испытаний (узлов): ( n = 10 ),
- Количество "успешных" исходов (отказов узлов): ( k = 4 ),
- Вероятность отказа каждого узла (\ "успех" в контексте отказа):
Обратите внимание, что вероятность отказа узла ( q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2 ).
Задача — найти вероятность того, что ровно 4 узла выйдут из строя.
Шаг 2. Формула биномиальной вероятности
Вероятность того, что ровно ( k ) узлов выйдут из строя, вычисляется по формуле:
[
P(k) = C(n, k) \times q^{k} \times (1 - q)^{n - k}
]
где:
( C(n, k) ) — число сочетаний из ( n ) по ( k ):
[
C(n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!}
]
( q ) — вероятность отказа узла,
( (1 - q) ) — вероятность нормальной работы узла.
Шаг 3. Подставим значения
- ( n = 10 ),
- ( k = 4 ),
- ( q = 0,2 ).
[
P(4) = C(10, 4) \times (0,2)^4 \times (0,8)^{6}
]
Шаг 4. Вычисление чисел сочетаний
[
C(10, 4) = \frac{10!}{4! \times 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210
]
Шаг 5. Вычисление вероятностей
[
(0,2)^4 = 0,2^4 = 0,0016
]
[
(0,8)^6 = 0,8^6
]
Рассчитаем ( 0,8^6 ):
[
0.8^2 = 0.64
]
[
0.8^3 = 0.8 \times 0.64 = 0.512
]
[
0.8^4 = 0.8 \times 0.512 = 0.4096
]
[
0.8^5 = 0.8 \times 0.4096 = 0.32768
]
[
0.8^6 = 0.8 \times 0.32768 = 0.262144
]
Шаг 6. Итоговое вычисление
[
P(4) = 210 \times 0.0016 \times 0.262144
]
Посчитаем:
[
0.0016 \times 0.262144 \approx 0.0004194
]
Теперь умножим на 210:
[
P(4) \approx 210 \times 0.0004194 \approx 0.0881
]
Ответ:
Вероятность того, что за время t выйдут из строя ровно 4 узла, примерно равна (\boxed{0,088}) или 8,8%.
Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение подробнее, я помогу!
