Задача 1. Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна р = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите…
Задача 1. Прибор состоит из 10 узлов. Вероятность безотказной работы каждого узла за некоторое время t равна р = 0,8. Узлы выходят из строя независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что за время t откажут 4 узла.
Давайте подробно разберем задачу по шагам.
Задача:
- Есть прибор из 10 узлов.
- Вероятность безотказной работы каждого узла за время t равна \( p = 0,8 \).
- Узлы выходят из строя независимо.
- Нужно найти вероятность того, что за время t откажут ровно 4 узла.
Шаг 1. Определение условий модели
Это классическая задача на вероятность в биномиальной модели:
- Общее число испытаний (узлов): \( n = 10 \),
- Количество "успешных" исходов (отказов узлов): \( k = 4 \),
- Вероятность отказа каждого узла (\ "успех" в контексте отказа):
Обратите внимание, что вероятность отказа узла \( q = 1 - p = 1 - 0,8 = 0,2 \).
Задача — найти вероятность того, что ровно 4 узла выйдут из строя.
Шаг 2. Формула биномиальной вероятности
Вероятность того, что ровно \( k \) узлов выйдут из строя, вычисляется по формуле:
\[ P(k) = C(n, k) \times q^{k} \times (1 - q)^{n - k} \]
где:
\( C(n, k) \) — число сочетаний из \( n \) по \( k \): \[ C(n, k) = \frac{n!}{k! (n - k)!} \]
\( q \) — вероятность отказа узла,
\( (1 - q) \) — вероятность нормальной работы узла.
Шаг 3. Подставим значения
- \( n = 10 \),
- \( k = 4 \),
- \( q = 0,2 \).
\[ P(4) = C(10, 4) \times (0,2)^4 \times (0,8)^{6} \]
Шаг 4. Вычисление чисел сочетаний
\[ C(10, 4) = \frac{10!}{4! \times 6!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210 \]
Шаг 5. Вычисление вероятностей
\[ (0,2)^4 = 0,2^4 = 0,0016 \]
\[ (0,8)^6 = 0,8^6 \]
Рассчитаем \( 0,8^6 \):
\[ 0.8^2 = 0.64 \] \[ 0.8^3 = 0.8 \times 0.64 = 0.512 \] \[ 0.8^4 = 0.8 \times 0.512 = 0.4096 \] \[ 0.8^5 = 0.8 \times 0.4096 = 0.32768 \] \[ 0.8^6 = 0.8 \times 0.32768 = 0.262144 \]
Шаг 6. Итоговое вычисление
\[ P(4) = 210 \times 0.0016 \times 0.262144 \]
Посчитаем:
\[ 0.0016 \times 0.262144 \approx 0.0004194 \]
Теперь умножим на 210:
\[ P(4) \approx 210 \times 0.0004194 \approx 0.0881 \]
Ответ:
Вероятность того, что за время t выйдут из строя ровно 4 узла, примерно равна \(\boxed{0,088}\) или 8,8%.
Если есть дополнительные вопросы или нужно объяснение подробнее, я помогу!
