Давайте решим задачу: найти два числа, если их сумма равна 10, а произведение — -75.
Обозначим эти числа через ( x ) и ( y ).
Дано:
[
x + y = 10 \quad (1)
]
[
x \cdot y = -75 \quad (2)
]
Задача: найти ( x ) и ( y ).
Шаг 1: выразим одно число через другое из первого уравнения.
Из уравнения (1):
[
y = 10 - x
]
Шаг 2: подставим это выражение во второе уравнение.
[
x \cdot (10 - x) = -75
]
Раскроем скобки:
[
10x - x^2 = -75
]
Перестроим уравнение в стандартный вид:
[
-x^2 + 10x + 75 = 0
]
или, умножив на -1, чтобы избавиться от минуса перед (x^2):
[
x^2 - 10x - 75 = 0
]
Шаг 3: решим квадратичное уравнение.
Квадратическое уравнение:
[
x^2 - 10x - 75 = 0
]
найдём дискриминант:
[
D = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-75) = 100 + 300 = 400
]
Результат — дискриминант положительный, следовательно, два реальных корня:
[
x_{1,2} = \frac{10 \pm \sqrt{400}}{2} = \frac{10 \pm 20}{2}
]
Посчитаем оба корня:
- ( x_1 = \frac{10 + 20}{2} = \frac{30}{2} = 15 )
- ( x_2 = \frac{10 - 20}{2} = \frac{-10}{2} = -5 )
Шаг 4: найдём соответствующие значения ( y ).
Для ( x = 15 ):
[
y = 10 - x = 10 - 15 = -5
]
Для ( x = -5 ):
[
y = 10 - (-5) = 10 + 5 = 15
]
Ответ:
Два числа — 15 и -5.
Они соответствуют условию: сумма 15 + (-5) = 10, а произведение 15 * (-5) = -75.
