Упростите выражение: 1) 8 * root(54, 3) + sqrt(25) - 3 * root(128, 3) - 3, 85 ^ 0 2) sqrt(5) * root(5, 3) * root(5, 6) - (root(3, 9)) ^ 9 + root(64 ^ 2, 6) 3) (root(4 - 2sqrt(3),…
Упростите выражение: 1) 8 * root(54, 3) + sqrt(25) - 3 * root(128, 3) - 3, 85 ^ 0 2) sqrt(5) * root(5, 3) * root(5, 6) - (root(3, 9)) ^ 9 + root(64 ^ 2, 6) 3) (root(4 - 2sqrt(3), 4) * root(4 + 2sqrt(3), 4))/(sqrt(0, 5)) 4) root(28 - 16sqrt(3), 4)
Конечно! Давайте последовательно и подробно упростим каждое выражение. Начнем с первого.
1) Упростите выражение:
\[ 8 \cdot \sqrt[3]{54} + \sqrt{25} - 3 \cdot \sqrt[3]{128} - 3^{0} \]
Шаг 1: Упростим каждую часть по отдельности.
\(\sqrt[3]{54}\): разложим 54 на простые множители.
\(54 = 2 \times 3^3\)
Тогда:
\[ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{2 \times 3^3} = \sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{2} \times 3 \]
\(\sqrt{25} = 5\), так как \(5^2 = 25\).
\(\sqrt[3]{128}\): разложим 128.
\(128 = 2^7\)
Тогда:
\[ \sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{2^7} = 2^{7/3} = 2^{2 + 1/3} = 2^2 \times 2^{1/3} = 4 \times \sqrt[3]{2} \]
\(3^{0} = 1\), так как любое число в степени 0 равно 1.
Шаг 2: Подставим обратно в выражение.
\[ 8 \times \sqrt[3]{54} + 5 - 3 \times \sqrt[3]{128} - 1 \]
заменяем:
\[ 8 \times ( \sqrt[3]{2} \times 3 ) + 5 - 3 \times (4 \times \sqrt[3]{2}) - 1 \]
Упростим:
\[ 8 \times 3 \times \sqrt[3]{2} + 5 - 3 \times 4 \times \sqrt[3]{2} - 1 \] \[ 24 \sqrt[3]{2} + 5 - 12 \sqrt[3]{2} - 1 \]
Шаг 3: Собираем подобные члены.
\[ (24 \sqrt[3]{2} - 12 \sqrt[3]{2}) + (5 - 1) = 12 \sqrt[3]{2} + 4 \]
Ответ для задачи 1:
\[ \boxed{12 \sqrt[3]{2} + 4} \]
2) Упростите:
\[ \sqrt{5} \times \sqrt[3]{5} \times \sqrt[6]{5} - (\sqrt[3]{9})^9 + \sqrt[6]{64^2} \]
Шаг 1: Упростим каждое выражение.
- \(\sqrt{5} = 5^{1/2}\)
- \(\sqrt[3]{5} = 5^{1/3}\)
- \(\sqrt[6]{5} = 5^{1/6}\)
Перемножим их:
\[ 5^{1/2} \times 5^{1/3} \times 5^{1/6} = 5^{(1/2 + 1/3 + 1/6)} \]
Общий показатель степени:
\[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \]
Найдем сумму с общим знаменателем 6:
\[ \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \]
Значит:
\[ 5^{1} \]
- \(\sqrt[3]{9} = 9^{1/3}\). Возьмем степень:
\[ (\sqrt[3]{9})^9 = (9^{1/3})^9 = 9^{9/3} = 9^{3} = 729 \]
- \(\sqrt[6]{64^2}\): найдем \(64^2 = (2^6)^2 = 2^{12}\). Тогда:
\[ \sqrt[6]{2^{12}} = 2^{12/6} = 2^{2} = 4 \]
Шаг 2: Собираем весь результат:
\[ 5 - 729 + 4 \]
\[ = (5 + 4) - 729 = 9 - 729 = -720 \]
Ответ для задачи 2:
\[ \boxed{-720} \]
3) Упростите:
\[ \frac{\sqrt[4]{4 - 2\sqrt{3}} \times \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}}}{\sqrt[5]{0}} \]
Обратите внимание, что \(\sqrt[5]{0} = 0\). Деление на 0 — невозможно, следовательно, выражение не определено.
Ответ:
выражение не определено (деление на ноль).
4) Упростите:
\[ \sqrt[4]{28 - 16 \sqrt{3}} \]
**Шаг 1: Попытка представить выражение внутри под корнем в виде квадрата.
Рассмотрим выражение:
\[ 28 - 16 \sqrt{3} \]
Обратим внимание: можно ли представить это в виде \((a - b\sqrt{3})^2\)?
Рассчитаем квадрат общего вида:
\[ (a - b\sqrt{3})^2 = a^2 + 3b^2 - 2ab\sqrt{3} \]
Сравним с нашим выражением:
\[ 28 - 16 \sqrt{3} \]
Отсюда:
\[ a^2 + 3b^2 = 28 \] \[ -2ab = -16 \implies 2ab = 16 \implies ab=8 \]
Из второго уравнения: \(ab=8\).
Подставим \(ab=8\) в первое:
\[ a^2 + 3b^2 = 28 \]
Выразим \(b = \frac{8}{a}\):
\[ a^2 + 3 \left(\frac{8}{a}\right)^2 = 28 \]
\[ a^2 + 3 \times \frac{64}{a^2} = 28 \]
Умножим обе части на \(a^2\), чтобы избавиться от дроби:
\[ a^4 + 3 \times 64 = 28a^2 \]
\[ a^4 + 192 = 28a^2 \]
Обозначим \(x=a^2\), тогда:
\[ x^2 - 28x +192=0 \]
Решим это квадратное уравнение:
\[ x = \frac{28 \pm \sqrt{28^2 - 4 \times 192}}{2} \]
Вычислим дискриминант:
\[ 28^2 = 784 \] \[ 4 \times 192 = 768 \]
Дискриминант:
\[ 784 - 768 = 16 \]
Корни:
\[ x = \frac{28 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{28 \pm 4}{2} \]
- \(x = \frac{28+4}{2} = \frac{32}{2} = 16\)
- \(x = \frac{28-4}{2} = \frac{24}{2} = 12\)
Значит \(a^2 = 16\) или \(12\).
Если \(a^2=16\), тогда \(a= \pm 4\). Тогда \(b= \frac{8}{a}\):
- \(a=4 \Rightarrow b=2\)
- \(a=-4 \Rightarrow b=-2\)
Проверим для \(a=4, b=2\):
\[ (4 - 2\sqrt{3})^2 = 16 + 12 - 16 \sqrt{3} = 28 - 16\sqrt{3} \]
Совпадает!
Значит:
\[ 28 - 16 \sqrt{3} = (4 - 2 \sqrt{3})^2 \]
Следовательно:
\[ \sqrt[4]{28 - 16 \sqrt{3}} = \sqrt[4]{(4 - 2 \sqrt{3})^2} = \sqrt{\sqrt{(4 - 2 \sqrt{3})^2}} = \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} \]
Ответ:
\[ \boxed{\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}} \]
Если потребуется дополнительное объяснение или решение других задач — обращайтесь!
