Упростите выражение: 1) 8 * root(54, 3) + sqrt(25) - 3 * root(128, 3) - 3, 85 ^ 0 2) sqrt(5) * root(5, 3) * root(5, 6) - (root(3, 9)) ^ 9 + root(64 ^ 2, 6) 3) (root(4 - 2sqrt(3), 4) * root(4 + 2sqrt(3), 4))/(sqrt(0, 5)) 4) root(28 - 16sqrt(3), 4)

Конечно! Давайте последовательно и подробно упростим каждое выражение. Начнем с первого. --- ### 1) Упростите выражение: \[ 8 \cdot \sqrt[3]{54} + \sqrt{25} - 3 \cdot \sqrt[3]{128} - 3^{0} \] **Шаг 1: Упростим каждую часть по отдельности.** - \(\sqrt[3]{54}\): разложим 54 на простые множители. \(54 = 2 \times 3^3\) Тогда: \[ \sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{2 \times 3^3} = \sqrt[3]{2} \times \sqrt[3]{3^3} = \sqrt[3]{2} \times 3 \] - \(\sqrt{25} = 5\), так как \(5^2 = 25\). - \(\sqrt[3]{128}\): разложим 128. \(128 = 2^7\) Тогда: \[ \sqrt[3]{128} = \sqrt[3]{2^7} = 2^{7/3} = 2^{2 + 1/3} = 2^2 \times 2^{1/3} = 4 \times \sqrt[3]{2} \] - \(3^{0} = 1\), так как любое число в степени 0 равно 1. --- **Шаг 2: Подставим обратно в выражение.** \[ 8 \times \sqrt[3]{54} + 5 - 3 \times \sqrt[3]{128} - 1 \] заменяем: \[ 8 \times ( \sqrt[3]{2} \times 3 ) + 5 - 3 \times (4 \times \sqrt[3]{2}) - 1 \] Упростим: \[ 8 \times 3 \times \sqrt[3]{2} + 5 - 3 \times 4 \times \sqrt[3]{2} - 1 \] \[ 24 \sqrt[3]{2} + 5 - 12 \sqrt[3]{2} - 1 \] **Шаг 3: Собираем подобные члены.** \[ (24 \sqrt[3]{2} - 12 \sqrt[3]{2}) + (5 - 1) = 12 \sqrt[3]{2} + 4 \] **Ответ для задачи 1:** \[ \boxed{12 \sqrt[3]{2} + 4} \] --- ### 2) Упростите: \[ \sqrt{5} \times \sqrt[3]{5} \times \sqrt[6]{5} - (\sqrt[3]{9})^9 + \sqrt[6]{64^2} \] **Шаг 1: Упростим каждое выражение.** - \(\sqrt{5} = 5^{1/2}\) - \(\sqrt[3]{5} = 5^{1/3}\) - \(\sqrt[6]{5} = 5^{1/6}\) Перемножим их: \[ 5^{1/2} \times 5^{1/3} \times 5^{1/6} = 5^{(1/2 + 1/3 + 1/6)} \] Общий показатель степени: \[ \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{6} \] Найдем сумму с общим знаменателем 6: \[ \frac{3}{6} + \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} = 1 \] Значит: \[ 5^{1} \] - \(\sqrt[3]{9} = 9^{1/3}\). Возьмем степень: \[ (\sqrt[3]{9})^9 = (9^{1/3})^9 = 9^{9/3} = 9^{3} = 729 \] - \(\sqrt[6]{64^2}\): найдем \(64^2 = (2^6)^2 = 2^{12}\). Тогда: \[ \sqrt[6]{2^{12}} = 2^{12/6} = 2^{2} = 4 \] **Шаг 2: Собираем весь результат:** \[ 5 - 729 + 4 \] \[ = (5 + 4) - 729 = 9 - 729 = -720 \] **Ответ для задачи 2:** \[ \boxed{-720} \] --- ### 3) Упростите: \[ \frac{\sqrt[4]{4 - 2\sqrt{3}} \times \sqrt[4]{4 + 2\sqrt{3}}}{\sqrt[5]{0}} \] Обратите внимание, что \(\sqrt[5]{0} = 0\). Деление на 0 — невозможно, следовательно, выражение не определено. **Ответ:** **выражение не определено (деление на ноль).** --- ### 4) Упростите: \[ \sqrt[4]{28 - 16 \sqrt{3}} \] **Шаг 1: Попытка представить выражение внутри под корнем в виде квадрата. Рассмотрим выражение: \[ 28 - 16 \sqrt{3} \] Обратим внимание: можно ли представить это в виде \((a - b\sqrt{3})^2\)? Рассчитаем квадрат общего вида: \[ (a - b\sqrt{3})^2 = a^2 + 3b^2 - 2ab\sqrt{3} \] Сравним с нашим выражением: \[ 28 - 16 \sqrt{3} \] Отсюда: \[ a^2 + 3b^2 = 28 \] \[ -2ab = -16 \implies 2ab = 16 \implies ab=8 \] Из второго уравнения: \(ab=8\). Подставим \(ab=8\) в первое: \[ a^2 + 3b^2 = 28 \] Выразим \(b = \frac{8}{a}\): \[ a^2 + 3 \left(\frac{8}{a}\right)^2 = 28 \] \[ a^2 + 3 \times \frac{64}{a^2} = 28 \] Умножим обе части на \(a^2\), чтобы избавиться от дроби: \[ a^4 + 3 \times 64 = 28a^2 \] \[ a^4 + 192 = 28a^2 \] Обозначим \(x=a^2\), тогда: \[ x^2 - 28x +192=0 \] Решим это квадратное уравнение: \[ x = \frac{28 \pm \sqrt{28^2 - 4 \times 192}}{2} \] Вычислим дискриминант: \[ 28^2 = 784 \] \[ 4 \times 192 = 768 \] Дискриминант: \[ 784 - 768 = 16 \] Корни: \[ x = \frac{28 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{28 \pm 4}{2} \] 1. \(x = \frac{28+4}{2} = \frac{32}{2} = 16\) 2. \(x = \frac{28-4}{2} = \frac{24}{2} = 12\) Значит \(a^2 = 16\) или \(12\). - Если \(a^2=16\), тогда \(a= \pm 4\). Тогда \(b= \frac{8}{a}\): - \(a=4 \Rightarrow b=2\) - \(a=-4 \Rightarrow b=-2\) Проверим для \(a=4, b=2\): \[ (4 - 2\sqrt{3})^2 = 16 + 12 - 16 \sqrt{3} = 28 - 16\sqrt{3} \] Совпадает! **Значит:** \[ 28 - 16 \sqrt{3} = (4 - 2 \sqrt{3})^2 \] Следовательно: \[ \sqrt[4]{28 - 16 \sqrt{3}} = \sqrt[4]{(4 - 2 \sqrt{3})^2} = \sqrt{\sqrt{(4 - 2 \sqrt{3})^2}} = \sqrt{4 - 2 \sqrt{3}} \] --- **Ответ:** \[ \boxed{\sqrt{4 - 2 \sqrt{3}}} \] --- Если потребуется дополнительное объяснение или решение других задач — обращайтесь!