Решим задачу шаг за шагом, подробно объясняя каждый этап.
Дано:
- На олимпиаде 1/7 всех участников получили дипломы.
- Остальных участников (то есть тех, кто не получил дипломы) было 11/нарушенных участников (это, скорее всего, неверное понимание задачи; правильно — "остальных участников было награждены похвальными грамотами, а остальные 144 человека получили сертификаты").
В оригинальном условии указано:
на многопредметной олимпиаде 1/7 всех участников получили дипломы,
3/11 оставшихся участников были награждены похвальными грамотами,
а остальные 144 человека получили сертификаты об участии.
Обозначим:
- Общее число участников — N.
Шаг 1: Дипломы получили (1/7)N участников.
Шаг 2: Оставшиеся участники — N - (1/7)N = (6/7)N.
Из них (3/11) получили похвальные грамоты: (3/11) * (6/7)N
Остальные участники — те, кто не получил наград или сертификаты. Их число — 144 человека.
То есть, доля участников, получивших сертификаты, — это оставшиеся после награжденных грамотами — это 144.
формула:
- Количество участников, получивших сертификаты = N - (дипломы + грамоты).
Но для вычисления проще:
Количество участников, не получивших дипломы, равно (6/7)N, из них (3/11) * (6/7)N получили грамоты, а остальные — сертификаты, их число — 144.
Запишем:
[
\text{Остальные без наград} = \left( \frac{6}{7}N \right) - \left( \frac{3}{11} \times \frac{6}{7}N \right) = 144
]
Рассчитаем пошагово.
Шаг 3: Вырезание скобок
[
\left( \frac{6}{7}N \right) - \left( \frac{3}{11} \times \frac{6}{7}N \right) = 144
]
Упростим второе слагаемое:
[
\frac{3}{11} \times \frac{6}{7}N = \frac{3 \times 6}{11 \times 7}N = \frac{18}{77}N
]
Теперь подставим назад:
[
\frac{6}{7}N - \frac{18}{77}N = 144
]
Шаг 4: приведение к общему знаменателю
Общий знаменатель 77:
[
\frac{6}{7}N = \frac{6 \times 11}{77}N = \frac{66}{77}N
]
Тогда:
[
\frac{66}{77}N - \frac{18}{77}N = 144
]
Выполним вычитание дробей:
[
\frac{66 - 18}{77}N = 144
]
[
\frac{48}{77}N = 144
]
Шаг 5: найти (N)
Умножим обе части уравнения на 77:
[
48N = 144 \times 77
]
Посчитаем: (144 \times 77):
- (144 \times 70 = 10080),
- (144 \times 7 = 1008),
Итак, сумма:
[
10080 + 1008 = 11088
]
Теперь:
[
48N = 11088
]
Делим обе части на 48:
[
N = \frac{11088}{48}
]
Рассчитаем:
- (48 \times 200 = 9600),
- Осталось: (11088 - 9600 = 1488),
- (48 \times 30 = 1440),
- Осталось: (1488 - 1440 = 48),
- (48 \div 48 = 1).
Итак:
[
N = 200 + 30 + 1 = 231
]
Ответ: В олимпиаде участвовало 231 человек.
Если нужны дополнительные объяснения — могу все еще разобрать подробнее!
