В таблице дано распределение вероятностей случайной величины. Значение: –1; 2; 5; 10; 20 Вероятность: 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,3 ; 0,1 Найти математическое ожидание и дисперсию…
В таблице дано распределение вероятностей случайной величины. Значение: –1; 2; 5; 10; 20 Вероятность: 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,3 ; 0,1 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины. M (X) = ? D (X) = ?
Давайте подробно решим задачу по поиску математического ожидания (M(X)) и дисперсии (D(X)) случайной величины, у которой даны значения и соответствующие им вероятности.
Дано:
| Значение (x) | Вероятность (P) |
|---|---|
| -1 | 0,1 |
| 2 | 0,2 |
| 5 | 0,3 |
| 10 | 0,3 |
| 20 | 0,1 |
Обязательно проверим, что сумма вероятностей равна 1:
0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,3 + 0,1 = 1, что правильно.
1. Вычислим математическое ожидание M(X)
Математическое ожидание представляет собой сумму произведений значений на их вероятности:
\[ M(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i) \]
Подставим значения:
\[ M(X) = (-1) \times 0,1 + 2 \times 0,2 + 5 \times 0,3 + 10 \times 0,3 + 20 \times 0,1 \]
Расчёт:
- \(-1 \times 0,1 = -0,1\)
- \(2 \times 0,2 = 0,4\)
- \(5 \times 0,3 = 1,5\)
- \(10 \times 0,3 = 3,0\)
- \(20 \times 0,1 = 2,0\)
Теперь сложим их:
\[ M(X) = -0,1 + 0,4 + 1,5 + 3,0 + 2,0 = ( -0,1 + 0,4 ) + 1,5 + 3,0 + 2,0 \]
\[ = 0,3 + 1,5 + 3,0 + 2,0 = 0,3 + 1,5 = 1,8; \quad 1,8 + 3,0 = 4,8; \quad 4,8 + 2,0 = 6,8 \]
Ответ по математическому ожиданию:
\[ \boxed{ M(X) = 6,8 } \]
2. Вычислим дисперсию D(X)
Формула дисперсии:
\[ D(X) = \sum_{i} (x_i - M(X))^2 \cdot P(x_i) \]
или альтернативно:
\[ D(X) = \sum_{i} x_i^2 \cdot P(x_i) - (M(X))^2 \]
Рекомендуем использовать второй способ, так как он проще.
Шаг 1: Найдём \(\sum x_i^2 \cdot P(x_i)\):
Вычислим отдельно \(x_i^2 \cdot P(x_i)\):
- \((-1)^2 \times 0,1 = 1 \times 0,1 = 0,1\)
- \(2^2 \times 0,2 = 4 \times 0,2 = 0,8\)
- \(5^2 \times 0,3 = 25 \times 0,3 = 7,5\)
- \(10^2 \times 0,3 = 100 \times 0,3 = 30,0\)
- \(20^2 \times 0,1 = 400 \times 0,1 = 40,0\)
Теперь их сумму:
\[ 0,1 + 0,8 + 7,5 + 30,0 + 40,0 = 78,4 \]
Шаг 2: Вычисляем \((M(X))^2\):
\[ (6,8)^2 = 6,8 \times 6,8 \]
Расчёт:
\[ 6 \times 6 = 36, \quad 0,8 \times 6 = 4,8, \quad 0,8 \times 6 = 4,8 \]
Итак:
\[ 6,8 \times 6,8 = 36 + 4,8 + 4,8 = 45,6 \]
Итог — дисперсия:
\[ D(X) = 78,4 - 45,6 = 32,8 \]
Итоговые ответы:
\[ \boxed{ \begin{aligned} M(X) &= 6,8 \\ D(X) &= 32,8 \end{aligned} } \]
Если есть вопросы или нужно объяснение подробнее — обращайтесь!
