Давайте подробно решим задачу по поиску математического ожидания (M(X)) и дисперсии (D(X)) случайной величины, у которой даны значения и соответствующие им вероятности.
Дано:
| Значение (x) |
Вероятность (P) |
| -1 |
0,1 |
| 2 |
0,2 |
| 5 |
0,3 |
| 10 |
0,3 |
| 20 |
0,1 |
Обязательно проверим, что сумма вероятностей равна 1:
0,1 + 0,2 + 0,3 + 0,3 + 0,1 = 1, что правильно.
1. Вычислим математическое ожидание M(X)
Математическое ожидание представляет собой сумму произведений значений на их вероятности:
[
M(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i)
]
Подставим значения:
[
M(X) = (-1) \times 0,1 + 2 \times 0,2 + 5 \times 0,3 + 10 \times 0,3 + 20 \times 0,1
]
Расчёт:
- (-1 \times 0,1 = -0,1)
- (2 \times 0,2 = 0,4)
- (5 \times 0,3 = 1,5)
- (10 \times 0,3 = 3,0)
- (20 \times 0,1 = 2,0)
Теперь сложим их:
[
M(X) = -0,1 + 0,4 + 1,5 + 3,0 + 2,0 = ( -0,1 + 0,4 ) + 1,5 + 3,0 + 2,0
]
[
= 0,3 + 1,5 + 3,0 + 2,0 = 0,3 + 1,5 = 1,8; \quad 1,8 + 3,0 = 4,8; \quad 4,8 + 2,0 = 6,8
]
Ответ по математическому ожиданию:
[
\boxed{
M(X) = 6,8
}
]
2. Вычислим дисперсию D(X)
Формула дисперсии:
[
D(X) = \sum_{i} (x_i - M(X))^2 \cdot P(x_i)
]
или альтернативно:
[
D(X) = \sum_{i} x_i^2 \cdot P(x_i) - (M(X))^2
]
Рекомендуем использовать второй способ, так как он проще.
Шаг 1: Найдём (\sum x_i^2 \cdot P(x_i)):
Вычислим отдельно (x_i^2 \cdot P(x_i)):
- ((-1)^2 \times 0,1 = 1 \times 0,1 = 0,1)
- (2^2 \times 0,2 = 4 \times 0,2 = 0,8)
- (5^2 \times 0,3 = 25 \times 0,3 = 7,5)
- (10^2 \times 0,3 = 100 \times 0,3 = 30,0)
- (20^2 \times 0,1 = 400 \times 0,1 = 40,0)
Теперь их сумму:
[
0,1 + 0,8 + 7,5 + 30,0 + 40,0 = 78,4
]
Шаг 2: Вычисляем ((M(X))^2):
[
(6,8)^2 = 6,8 \times 6,8
]
Расчёт:
[
6 \times 6 = 36, \quad 0,8 \times 6 = 4,8, \quad 0,8 \times 6 = 4,8
]
Итак:
[
6,8 \times 6,8 = 36 + 4,8 + 4,8 = 45,6
]
Итог — дисперсия:
[
D(X) = 78,4 - 45,6 = 32,8
]
Итоговые ответы:
[
\boxed{
\begin{aligned}
M(X) &= 6,8 \
D(X) &= 32,8
\end{aligned}
}
]
Если есть вопросы или нужно объяснение подробнее — обращайтесь!
