Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности и обозначим:
- (AB = 10) см
- (BC = 12) см
- (CA = 5) см
Обозначим точки касания:
- Окружность касается (AB) в точке (R)
- Касается (BC) в точке (Q)
- Касается (CA) в точке (P)
Пусть размеры сегментов, отрезков, соотносящихся с точками касания, таковы:
- (AR = x), тогда (RB = y)
- (BQ = z), тогда (QC = t)
- (CP = u), тогда (PA = v)
Заметим, что:
- (AB = AR + RB = x + y = 10)
- (BC = BQ + QC = z + t = 12)
- (CA = CP + PA = u + v = 5)
Из свойств вписанной окружности известно, что длины сегментов на сторонах, образуемые точками касания, связаны со свойствами равных отрезков:
- (AR = AS = u)
- (BR = BT = y)
- (BQ = QP = z)
- (CQ = QT = t)
- (CP = CR = u)
- (AP = AT = v)
Однако проще воспользоваться формулой для отрезков, заключающейся в использовании полуобходимых длин.
Обозначим:
- (s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{10 + 12 + 5}{2} = \frac{27}{2} = 13.5) см — полупериметр.
Теорема о точках касания окружности к сторонам гласит, что:
[
AR = AS = s - BC = 13.5 - 12 = 1.5 \text{ см}
]
[
BR = BT = s - CA = 13.5 - 5 = 8.5 \text{ см}
]
[
CP = CR = s - AB = 13.5 - 10 = 3.5 \text{ см}
]
Проверим, получатся ли все отрезки:
(AB = AR + RB = 1.5 + 8.5 = 10) см ✔
(BC = BQ + QC = 8.5 + 4.5 = 12) см, но по нашим расчетам следует (z) и (t):
В конкретике, поскольку (BQ) и (QC) — сегменты, соответствующие точкам касания, то:
[
AR = AS = s - BC = 13.5 - 12 = 1.5 \text{ см}
]
[
BR = BT = s - CA = 13.5 - 5 = 8.5 \text{ см}
]
[
CP = CR = s - AB = 13.5 - 10 = 3.5 \text{ см}
]
Тогда полно:
- (AP = AR = 1.5) см
- (RB = 8.5) см
- (BQ = z), (QC = t), и по свойствам они равны (z = s - CA = 8.5), (t = s - AB = 3.5)
Ответ:
[
\boxed{
\begin{aligned}
& AR = 1.5 \text{ см} \
& RB = 8.5 \text{ см} \
& BQ = 8.5 \text{ см} \
& QC = 3.5 \text{ см} \
& CR = 3.5 \text{ см} \
& RA = 1.5 \text{ см}
\end{aligned}
}
]
Обратите внимание, что:
- (AR) и (RA) — одна и та же точка, так что (AR = RA = 1.5) см
- (RB = 8.5) см
- (BQ = 8.5) см
- (QC = 3.5) см
- (CP = CR = 3.5) см
Это и есть искомые длины.
