В треугольник АВС вписана окружность, которая касается сторон АВ, ВС и СА в точках Р, Q и R. Найдите АР, РВ, BQ, QC, CR, RA, если АВ = 10 см, ВС = 12 см, СА = 5 см.

Для решения задачи воспользуемся свойствами вписанной окружности и обозначим:

• \(AB = 10\) см
• \(BC = 12\) см
• \(CA = 5\) см

Обозначим точки касания:

• Окружность касается \(AB\) в точке \(R\)
• Касается \(BC\) в точке \(Q\)
• Касается \(CA\) в точке \(P\)

Пусть размеры сегментов, отрезков, соотносящихся с точками касания, таковы:

• \(AR = x\), тогда \(RB = y\)
• \(BQ = z\), тогда \(QC = t\)
• \(CP = u\), тогда \(PA = v\)

Заметим, что:

• \(AB = AR + RB = x + y = 10\)
• \(BC = BQ + QC = z + t = 12\)
• \(CA = CP + PA = u + v = 5\)

Из свойств вписанной окружности известно, что длины сегментов на сторонах, образуемые точками касания, связаны со свойствами равных отрезков:

• \(AR = AS = u\)
• \(BR = BT = y\)
• \(BQ = QP = z\)
• \(CQ = QT = t\)
• \(CP = CR = u\)
• \(AP = AT = v\)

Однако проще воспользоваться формулой для отрезков, заключающейся в использовании полуобходимых длин.

Обозначим:

• \(s = \frac{AB + BC + CA}{2} = \frac{10 + 12 + 5}{2} = \frac{27}{2} = 13.5\) см — полупериметр.

Теорема о точках касания окружности к сторонам гласит, что:

\[ AR = AS = s - BC = 13.5 - 12 = 1.5 \text{ см} \] \[ BR = BT = s - CA = 13.5 - 5 = 8.5 \text{ см} \] \[ CP = CR = s - AB = 13.5 - 10 = 3.5 \text{ см} \]

Проверим, получатся ли все отрезки:

• \(AB = AR + RB = 1.5 + 8.5 = 10\) см ✔

• \(BC = BQ + QC = 8.5 + 4.5 = 12\) см, но по нашим расчетам следует \(z\) и \(t\):

  В конкретике, поскольку \(BQ\) и \(QC\) — сегменты, соответствующие точкам касания, то:

\[ AR = AS = s - BC = 13.5 - 12 = 1.5 \text{ см} \] \[ BR = BT = s - CA = 13.5 - 5 = 8.5 \text{ см} \] \[ CP = CR = s - AB = 13.5 - 10 = 3.5 \text{ см} \]

Тогда полно:

• \(AP = AR = 1.5\) см
• \(RB = 8.5\) см
• \(BQ = z\), \(QC = t\), и по свойствам они равны \(z = s - CA = 8.5\), \(t = s - AB = 3.5\)

Ответ:

\[ \boxed{ \begin{aligned} & AR = 1.5 \text{ см} \\ & RB = 8.5 \text{ см} \\ & BQ = 8.5 \text{ см} \\ & QC = 3.5 \text{ см} \\ & CR = 3.5 \text{ см} \\ & RA = 1.5 \text{ см} \end{aligned} } \]

Обратите внимание, что:

• \(AR\) и \(RA\) — одна и та же точка, так что \(AR = RA = 1.5\) см
• \(RB = 8.5\) см
• \(BQ = 8.5\) см
• \(QC = 3.5\) см
• \(CP = CR = 3.5\) см

Это и есть искомые длины.