В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: гипотенуза равна 26 см, r=4 см

Дано: - гипотенуза треугольника \( c = 26 \) см, - радиус вписанной окружности \( r = 4 \) см. Обозначим: - катеты: \( a \) и \( b \), - гипотенуза: \( c \). Для прямоугольного треугольника свойства вписанной окружности дают связь между радиусом \( r \), периметром \( P \), и сторонами треугольника: \[ r = \frac{P - 2s}{2} \] где \( s \) — площадь треугольника. Поскольку это прямоугольный треугольник, площадь: \[ s = \frac{ab}{2}. \] Также, по свойствам прямоугольного треугольника: \[ a^2 + b^2 = c^2 = 26^2 = 676. \] Периметр треугольника: \[ P = a + b + c. \] Теперь выразим \( r \): \[ r = \frac{P - 2s}{2} = \frac{(a + b + c) - 2 \cdot \frac{ab}{2}}{2} = \frac{a + b + c - ab}{2}. \] Подставим \( r=4 \): \[ 4 = \frac{a + b + c - ab}{2} \Rightarrow 8 = a + b + c - ab. \] Зная \( c = 26 \): \[ a + b + 26 - ab = 8 \Rightarrow a + b - ab = 8 - 26 = -18. \] Обозначим \( x = a + b \), тогда: \[ a + b = x, \] и: \[ ab = a \cdot b. \] Из выражений: \[ x - ab = -18 \quad \Rightarrow \quad ab = x + 18. \] Также, поскольку \( a \) и \( b \) — катеты прямоугольного треугольника: \[ a^2 + b^2 = 676, \] что равно: \[ (a + b)^2 - 2ab = 676, \] подставляя \( x = a + b \) и \( ab = x + 18 \): \[ x^2 - 2(x + 18) = 676, \] раскроем скобки: \[ x^2 - 2x - 36 = 676, \] и перенесем все в одному выражении: \[ x^2 - 2x - 36 - 676 = 0, \] \[ x^2 - 2x - 712 = 0. \] Решим квадратичное уравнение: \[ x^2 - 2x - 712=0, \] дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-712) = 4 + 2848 = 2852. \] Найдем корни: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{2852}}{2}. \] Вычислим \(\sqrt{2852}\): \[ 2852 \approx 53.4^2, \] так как \(53^2 = 2809\), а \(54^2=2916\). Значит, \[ x \approx \frac{2 \pm 53.4}{2}. \] Рассмотрим оба варианта: 1. \( x \approx \frac{2 + 53.4}{2} = \frac{55.4}{2} = 27.7 \). 2. \( x \approx \frac{2 - 53.4}{2} = \frac{-51.4}{2} = -25.7 \) (недопустимо, так как это сумма двух сторон). Следовательно, \( a + b \approx 27.7 \). Теперь найдем \( ab \): \[ ab = x + 18 \approx 27.7 + 18 = 45.7. \] Итак, для катетов \( a \) и \( b \): \[ a + b \approx 27.7, \] \[ ab \approx 45.7. \] Периметр треугольника: \[ P = a + b + c \approx 27.7 + 26 = 53.7. \] Ответ: **приблизительно \( \boxed{53.7 \text{ см}} \).** Если требуется более точный ответ, можно оставить его в виде выражений через дискриминант, но по условию дано конкретное число, так что приблизительно 53.7 см.