В прямоугольный треугольник вписана окружность радиуса r. Найдите периметр треугольника, если: гипотенуза равна 26 см, r=4 см

Дано:

• гипотенуза треугольника \( c = 26 \) см,
• радиус вписанной окружности \( r = 4 \) см.

Обозначим:

• катеты: \( a \) и \( b \),
• гипотенуза: \( c \).

Для прямоугольного треугольника свойства вписанной окружности дают связь между радиусом \( r \), периметром \( P \), и сторонами треугольника:

\[ r = \frac{P - 2s}{2} \]

где \( s \) — площадь треугольника.

Поскольку это прямоугольный треугольник, площадь:

\[ s = \frac{ab}{2}. \]

Также, по свойствам прямоугольного треугольника:

\[ a^2 + b^2 = c^2 = 26^2 = 676. \]

Периметр треугольника:

\[ P = a + b + c. \]

Теперь выразим \( r \):

\[ r = \frac{P - 2s}{2} = \frac{(a + b + c) - 2 \cdot \frac{ab}{2}}{2} = \frac{a + b + c - ab}{2}. \]

Подставим \( r=4 \):

\[ 4 = \frac{a + b + c - ab}{2} \Rightarrow 8 = a + b + c - ab. \]

Зная \( c = 26 \):

\[ a + b + 26 - ab = 8 \Rightarrow a + b - ab = 8 - 26 = -18. \]

Обозначим \( x = a + b \), тогда:

\[ a + b = x, \]

и:

\[ ab = a \cdot b. \]

Из выражений:

\[ x - ab = -18 \quad \Rightarrow \quad ab = x + 18. \]

Также, поскольку \( a \) и \( b \) — катеты прямоугольного треугольника:

\[ a^2 + b^2 = 676, \]

что равно:

\[ (a + b)^2 - 2ab = 676, \]

подставляя \( x = a + b \) и \( ab = x + 18 \):

\[ x^2 - 2(x + 18) = 676, \]

раскроем скобки:

\[ x^2 - 2x - 36 = 676, \]

и перенесем все в одному выражении:

\[ x^2 - 2x - 36 - 676 = 0, \]

\[ x^2 - 2x - 712 = 0. \]

Решим квадратичное уравнение:

\[ x^2 - 2x - 712=0, \]

дискриминант:

\[ D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-712) = 4 + 2848 = 2852. \]

Найдем корни:

\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{2852}}{2}. \]

Вычислим \(\sqrt{2852}\):

\[ 2852 \approx 53.4^2, \]

так как \(53^2 = 2809\), а \(54^2=2916\).

Значит,

\[ x \approx \frac{2 \pm 53.4}{2}. \]

Рассмотрим оба варианта:

1. \( x \approx \frac{2 + 53.4}{2} = \frac{55.4}{2} = 27.7 \).
2. \( x \approx \frac{2 - 53.4}{2} = \frac{-51.4}{2} = -25.7 \) (недопустимо, так как это сумма двух сторон).

Следовательно, \( a + b \approx 27.7 \).

Теперь найдем \( ab \):

\[ ab = x + 18 \approx 27.7 + 18 = 45.7. \]

Итак, для катетов \( a \) и \( b \):

\[ a + b \approx 27.7, \] \[ ab \approx 45.7. \]

Периметр треугольника:

\[ P = a + b + c \approx 27.7 + 26 = 53.7. \]

Ответ: приблизительно \( \boxed{53.7 \text{ см}} \).

Если требуется более точный ответ, можно оставить его в виде выражений через дискриминант, но по условию дано конкретное число, так что приблизительно 53.7 см.