Найдите минимальную длину волны, которую может принять приёмник, если ёмкость конденсатора в его колебательном контуре можно плавно изменять от 200пФ до 1800пФ,а индуктивность…

Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап.

В условии задачи:

• Ёмкость конденсатора \( C \) изменяется плавно от 200 пФ до 1800 пФ.
• Индуктивность катушки \( L \) постоянна и равна 60 мкГн.
• Скорость распространения электромагнитных волн \( c = 3 \times 10^8 \) м/с.

Нам нужно найти минимальную длину волны, которую может принять приёмник при таких условиях.

---

Шаг 1: Формула для длины волны в волновом контуре

Волновая длина \(\lambda\) связана с частотой \(f\):

\[ \lambda = \frac{c}{f} \]

Значение частоты для колебаний LC-контура определяется по формуле резонанса:

\[ f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \]

Где:

• \(L\) — индуктивность,
• \(C\) — ёмкость.

Итого, длина волны зависит от параметров контура:

\[ \lambda = c \times 2\pi \sqrt{LC} \]

Но более точное выражение для длины волны, соответствующей резонансной частоте, — это:

\[ \lambda = \frac{c}{f} = c \times 2\pi \sqrt{LC} \]

На самом деле, это неверное выражение, так как длина волны напрямую связана с частотой через \( \lambda = \frac{c}{f} \), где \(f\) — резонансная частота.

Но мы можем обойтись более просто: максимальная и минимальная частоты соответствуют минимальной и максимальной емкости, поскольку \(L\) постоянна.

---

Шаг 2: Выражение для резонансной частоты

Резонансная частота \(f\):

\[ f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}} \]

Следовательно,

\[ \lambda = \frac{c}{f} = 2 \pi c \sqrt{L C} \]

Чтобы найти минимальную длину волны, нужно рассчитать \( \lambda \) при максимальной емкости \( C_{max} \), так как \(f\) минимальна, а \(\lambda\) — максимально.

Аналогично, минимальная длина волны достигается при \( C_{min} \).

---

Шаг 3: Подставим числовые значения

Дано:

• \(C_{min} = 200\, \text{пФ} = 200 \times 10^{-12}\, \text{Ф}\),
• \(C_{max} = 1800\, \text{пФ} = 1800 \times 10^{-12}\, \text{Ф}\),
• \(L = 60\, \mu \text{Гн} = 60 \times 10^{-6}\, \text{Гн}\),
• \(c = 3 \times 10^{8}\, \text{м/с}\).

Шаг 4: Находим длины волн для минимальной и максимальной емкости

Формула:

\[ \lambda = 2 \pi c \sqrt{L C} \]

Для \( C_{max} \):

\[ \lambda_{max} = 2 \pi \times 3 \times 10^{8} \times \sqrt{60 \times 10^{-6} \times 1800 \times 10^{-12}} \]

Рассчитаем поэтапно:

1. Внутри корня:

\[ L C = 60 \times 10^{-6} \times 1800 \times 10^{-12} = 60 \times 1800 \times 10^{-6 -12} = 108000 \times 10^{-18} = 1.08 \times 10^{-13} \]

2. Корень:

\[ \sqrt{1.08 \times 10^{-13}} \approx \sqrt{1.08} \times 10^{-6.5} \approx 1.039 \times 10^{-6.5} \]

Поскольку \(10^{-6.5} \approx 3.16 \times 10^{-7}\),

\[ \sqrt{L C} \approx 1.039 \times 3.16 \times 10^{-7} \approx 3.29 \times 10^{-7} \]

3. Полное выражение:

\[ \lambda_{max} = 2 \pi \times 3 \times 10^{8} \times 3.29 \times 10^{-7} \]

Объединим:

\[ 2 \pi \times 3 \times 10^{8} \approx 6.2832 \times 3 \times 10^{8} \approx 18.85 \times 10^{8} = 1.885 \times 10^{9} \]

Теперь:

\[ \lambda_{max} \approx 1.885 \times 10^{9} \times 3.29 \times 10^{-7} \approx (1.885 \times 3.29) \times 10^{(9 - 7)} = 6.2 \times 10^{2} = 620\, \text{м} \]

---

Аналогично для \( C_{min} = 200\, \text{пФ} \):

1. Внутри корня:

\[ L C = 60 \times 10^{-6} \times 200 \times 10^{-12} = 60 \times 200 \times 10^{-6 -12} = 12000 \times 10^{-18} = 1.2 \times 10^{-14} \]

2. Корень:

\[ \sqrt{1.2 \times 10^{-14}} \approx \sqrt{1.2} \times 10^{-7} \approx 1.095 \times 10^{-7} \]

3. Длина волны:

\[ \lambda_{min} = 2 \pi \times 3 \times 10^{8} \times 1.095 \times 10^{-7} \]

Общий коэффициент, как ранее, \(1.885 \times 10^{9}\):

\[ \lambda_{min} \approx 1.885 \times 10^{9} \times 1.095 \times 10^{-7} \approx (1.885 \times 1.095) \times 10^{(9 - 7)} \approx 2.065 \times 10^{2} = 206.5\, \text{м} \]

---

Итоговые ответы:

Емкость	Длина волны \(\lambda\) (м)
\(C_{min} = 200\,\text{пФ}\)	примерно 207 м
\(C_{max} = 1800\,\text{пФ}\)	примерно 620 м

Ответ:

Минимальная длина волны, которую может принимать приёмник, составляет около 207 метров.

---

Если нужно подробнее или есть дополнительные вопросы — пишите!