Найдите минимальную длину волны, которую может принять приёмник, если ёмкость конденсатора в его колебательном контуре можно плавно изменять от 200пФ до 1800пФ,а индуктивность катушки постоянная и равна 60 мкГН. Скорость распространения электромагнитный волн c =3*10^8 м/с

Давайте решим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап. ### В условии задачи: - Ёмкость конденсатора \( C \) изменяется плавно от 200 пФ до 1800 пФ. - Индуктивность катушки \( L \) постоянна и равна 60 мкГн. - Скорость распространения электромагнитных волн \( c = 3 \times 10^8 \) м/с. Нам нужно найти **минимальную длину волны**, которую может принять приёмник при таких условиях. --- ## Шаг 1: Формула для длины волны в волновом контуре Волновая длина \(\lambda\) связана с частотой \(f\): \[ \lambda = \frac{c}{f} \] Значение частоты для колебаний LC-контура определяется по формуле резонанса: \[ f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \] Где: - \(L\) — индуктивность, - \(C\) — ёмкость. Итого, длина волны зависит от параметров контура: \[ \lambda = c \times 2\pi \sqrt{LC} \] Но более точное выражение для длины волны, соответствующей резонансной частоте, — это: \[ \lambda = \frac{c}{f} = c \times 2\pi \sqrt{LC} \] *На самом деле, это неверное выражение*, так как длина волны напрямую связана с частотой через \( \lambda = \frac{c}{f} \), где \(f\) — резонансная частота. Но мы можем обойтись более просто: **максимальная и минимальная частоты соответствуют минимальной и максимальной емкости**, поскольку \(L\) постоянна. --- ## Шаг 2: Выражение для резонансной частоты Резонансная частота \(f\): \[ f = \frac{1}{2 \pi \sqrt{L C}} \] Следовательно, \[ \lambda = \frac{c}{f} = 2 \pi c \sqrt{L C} \] Чтобы найти минимальную длину волны, нужно рассчитать \( \lambda \) при **максимальной емкости** \( C_{max} \), так как \(f\) минимальна, а \(\lambda\) — максимально. Аналогично, минимальная длина волны достигается при \( C_{min} \). --- ## Шаг 3: Подставим числовые значения **Дано:** - \(C_{min} = 200\, \text{пФ} = 200 \times 10^{-12}\, \text{Ф}\), - \(C_{max} = 1800\, \text{пФ} = 1800 \times 10^{-12}\, \text{Ф}\), - \(L = 60\, \mu \text{Гн} = 60 \times 10^{-6}\, \text{Гн}\), - \(c = 3 \times 10^{8}\, \text{м/с}\). ## Шаг 4: Находим длины волн для минимальной и максимальной емкости Формула: \[ \lambda = 2 \pi c \sqrt{L C} \] ### Для \( C_{max} \): \[ \lambda_{max} = 2 \pi \times 3 \times 10^{8} \times \sqrt{60 \times 10^{-6} \times 1800 \times 10^{-12}} \] Рассчитаем поэтапно: 1. Внутри корня: \[ L C = 60 \times 10^{-6} \times 1800 \times 10^{-12} = 60 \times 1800 \times 10^{-6 -12} = 108000 \times 10^{-18} = 1.08 \times 10^{-13} \] 2. Корень: \[ \sqrt{1.08 \times 10^{-13}} \approx \sqrt{1.08} \times 10^{-6.5} \approx 1.039 \times 10^{-6.5} \] Поскольку \(10^{-6.5} \approx 3.16 \times 10^{-7}\), \[ \sqrt{L C} \approx 1.039 \times 3.16 \times 10^{-7} \approx 3.29 \times 10^{-7} \] 3. Полное выражение: \[ \lambda_{max} = 2 \pi \times 3 \times 10^{8} \times 3.29 \times 10^{-7} \] Объединим: \[ 2 \pi \times 3 \times 10^{8} \approx 6.2832 \times 3 \times 10^{8} \approx 18.85 \times 10^{8} = 1.885 \times 10^{9} \] Теперь: \[ \lambda_{max} \approx 1.885 \times 10^{9} \times 3.29 \times 10^{-7} \approx (1.885 \times 3.29) \times 10^{(9 - 7)} = 6.2 \times 10^{2} = 620\, \text{м} \] --- ### Аналогично для \( C_{min} = 200\, \text{пФ} \): 1. Внутри корня: \[ L C = 60 \times 10^{-6} \times 200 \times 10^{-12} = 60 \times 200 \times 10^{-6 -12} = 12000 \times 10^{-18} = 1.2 \times 10^{-14} \] 2. Корень: \[ \sqrt{1.2 \times 10^{-14}} \approx \sqrt{1.2} \times 10^{-7} \approx 1.095 \times 10^{-7} \] 3. Длина волны: \[ \lambda_{min} = 2 \pi \times 3 \times 10^{8} \times 1.095 \times 10^{-7} \] Общий коэффициент, как ранее, \(1.885 \times 10^{9}\): \[ \lambda_{min} \approx 1.885 \times 10^{9} \times 1.095 \times 10^{-7} \approx (1.885 \times 1.095) \times 10^{(9 - 7)} \approx 2.065 \times 10^{2} = 206.5\, \text{м} \] --- ## Итоговые ответы: | Емкость | Длина волны \(\lambda\) (м) | |----------|------------------------------| | \(C_{min} = 200\,\text{пФ}\) | примерно **207 м** | | \(C_{max} = 1800\,\text{пФ}\) | примерно **620 м** | ### **Ответ:** Минимальная длина волны, которую может принимать приёмник, составляет **около 207 метров**. --- Если нужно подробнее или есть дополнительные вопросы — пишите!