в полном графе количество рёбер 300. Сколько в нём вершин?
Давайте подробно разберём эту задачу.
Задача:
В полном графе количество рёбер равно 300. Нужно найти, сколько в нём вершин.
Объяснение:
Что такое полный граф?
Полный граф — это такой граф, в котором каждая вершина соединена с каждой другой вершиной ребром. Обозначается как \(K_n\), где \(n\) — число вершин.Формула количества рёбер в полном графе:
В полном графе с \(n\) вершинами каждое ребро соединяет две вершины.Количество рёбер считается по формуле:
\[ E = \frac{n(n-1)}{2} \]Где:
- \(E\) — количество рёбер
- \(n\) — число вершин
Задача:
Имеем \(E = 300\). Подставим это в формулу:
\[ 300 = \frac{n(n-1)}{2} \]Решение уравнения:
Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от деления:
\[ 600 = n(n-1) \]Раскроем скобки:
\[ n^2 - n - 600 = 0 \]Это квadratное уравнение:
\[ n^2 - n - 600 = 0 \]Решение квadratного уравнения:
Используем формулу корней:
\[ n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]где \(a=1\), \(b=-1\), \(c=-600\).
Подставляем:
\[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 1 \times (-600)}}{2 \times 1} \]В данном случае:
\[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 2400}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{2401}}{2} \]\( \sqrt{2401} = 49 \). Значит:
\[ n = \frac{1 \pm 49}{2} \]Получаем два варианта:
\[ n = \frac{1 + 49}{2} = \frac{50}{2} = 25 \]или
\[ n = \frac{1 - 49}{2} = \frac{-48}{2} = -24 \]Но число вершин не может быть отрицательным, поэтому отвергаем \(n = -24\).
Ответ:
\[
\boxed{n = 25}
\]
Итог:
В полном графе, у которого 300 рёбер, 25 вершин.
