Постройте график функции у = (22 + 7x + 12) (х2 - 1) и определите, (2 + 3)(7 + 1) при каких значениях с прямая у = с имеет с графиком ровно одну общую точку.

Давайте по шагам разберем вашу задачу. ### Шаг 1. Упростим функцию у = (22 + 7x + 12) (x^2 - 1) внутри скобок оба выражения можно упростить: - 22 + 12 = 34 - Итак, у = (34 + 7x) (x^2 - 1) Раскроем скобки методом умножения: \[ y = (34 + 7x)(x^2 - 1) \] используем распределительное свойство: \[ y = 34(x^2 - 1) + 7x(x^2 - 1) \] Раскроем каждое слагаемое: \[ y = 34x^2 - 34 + 7x^3 - 7x \] Объединим все члены: \[ y = 7x^3 + 34x^2 - 7x - 34 \] Это — кубическая функция. --- ### Шаг 2. Что нужно найти? Кажется, есть часть задачи: - Определить, при каких значениях \( c \) прямая \( y = c \) имеет с графиком функции ровно одну общую точку. То есть, нужно: \[ y = c \Rightarrow 7x^3 + 34x^2 - 7x - 34 = c \] или, по-другому: \[ 7x^3 + 34x^2 - 7x - (34 + c) = 0 \] Для каких значений \( c \) у этого уравнения есть ровно один корень? Это — вопрос о характеристиках кубического уравнения. --- ### Шаг 3. Анализ уравнения Обозначим: \[ f(x) = 7x^3 + 34x^2 - 7x - (34 + c) \] Рассмотрим функцию: \[ F(x) = 7x^3 + 34x^2 - 7x \] Тогда уравнение: \[ F(x) = 34 + c \] Чтобы уравнение имело ровно один корень, оно должно иметь касание, то есть, точку, где график функции каснется прямой — касательная и график пересекаются в одной точке, причем — касание. Для этого необходимо, чтобы у уравнения было: - один общий корень (кратности 1 или 3), или - чтобы левый и правый части уравнения касались — то есть имеем точку касания. Это происходит, когда: \[ f(x) = c \] и при этом: \[ f'(x) = 0 \] потому что касательная — это точка экстремума. --- ### Шаг 4. Найдем критические точки у функции \( y = f(x) \) Работаем с: \[ f(x) = 7x^3 + 34x^2 - 7x \] Найдем производную: \[ f'(x) = 21x^2 + 68x - 7 \] Для поиска точек экстремума решим: \[ 21x^2 + 68x - 7 = 0 \] Используем формулу: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 21 \), \( b = 68 \), \( c = -7 \): \[ x = \frac{-68 \pm \sqrt{68^2 - 4 \times 21 \times (-7)}}{2 \times 21} \] Расчеты: \[ 68^2 = 4624 \] \[ 4 \times 21 \times (-7) = -588 \] Следовательно, \[ x = \frac{-68 \pm \sqrt{4624 + 588}}{42} = \frac{-68 \pm \sqrt{5212}}{42} \] Далее, определим \(\sqrt{5212}\). Приблизительно: \[ \sqrt{5212} \approx 72.23 \] Значит: \[ x_1 = \frac{-68 + 72.23}{42} \approx \frac{4.23}{42} \approx 0.1007 \] \[ x_2 = \frac{-68 - 72.23}{42} \approx \frac{-140.23}{42} \approx -3.342 \] Это — точки экстремума функции \( f(x) \). --- ### Шаг 5. Определим значения функции \( f(x) \) в этих точках Подставим \( x_1 \) и \( x_2 \) в \( f(x) \): 1. Для \( x_1 \approx 0.1007 \): \[ f(0.1007) \approx 7(0.1007)^3 + 34(0.1007)^2 - 7(0.1007) \] Рассчитаем подробнее: \[ (0.1007)^3 \approx 0.00102 \] \[ (0.1007)^2 \approx 0.01014 \] Подставляем: \[ f(0.1007) \approx 7 \times 0.00102 + 34 \times 0.01014 - 7 \times 0.1007 \] \[ \approx 0.00714 + 0.344 + (-0.7049) \approx -0.3538 \] 2. Для \( x_2 \approx -3.342 \): \[ (-3.342)^3 \approx -37.36 \] \[ (-3.342)^2 \approx 11.17 \] Подставляем: \[ f(-3.342) \approx 7 \times (-37.36) + 34 \times 11.17 - 7 \times (-3.342) \] \[ \approx -261.52 + 379.78 + 23.39 \approx 141.65 \] --- ### Шаг 6. Определяем значения \( c \) Поскольку касание происходит в точках экстремума (местах, где \( f'(x)=0 \)): \[ c = f(x) = \text{значение функции в экстремумах} \] Положим: - для экстремума \( x_1 \approx 0.1007 \): \[ c_1 \approx -0.3538 \] - для экстремума \( x_2 \approx -3.342 \): \[ c_2 \approx 141.65 \] **Значения \(c\), при которых прямая \( y=c \) касается графика функции ровно в одной точке, равны \( c_1 \) и \( c_2 \).** --- ### **Ответ:** Прямая \( y=c \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции, если и только если: \[ c = -0.354 \quad \text{или} \quad c \approx 141.65 \] *(округление сделано для упрощения)* --- Если возникнут дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение — обращайтесь!