Постройте график функции у = (22 + 7x + 12) (х2 - 1) и определите, (2 + 3)(7 + 1) при каких значениях с прямая у = с имеет с графиком ровно одну общую точку.
Давайте по шагам разберем вашу задачу.
Шаг 1. Упростим функцию у = (22 + 7x + 12) (x^2 - 1)
внутри скобок оба выражения можно упростить:
- 22 + 12 = 34
- Итак, у = (34 + 7x) (x^2 - 1)
Раскроем скобки методом умножения:
\[ y = (34 + 7x)(x^2 - 1) \]
используем распределительное свойство:
\[ y = 34(x^2 - 1) + 7x(x^2 - 1) \]
Раскроем каждое слагаемое:
\[ y = 34x^2 - 34 + 7x^3 - 7x \]
Объединим все члены:
\[ y = 7x^3 + 34x^2 - 7x - 34 \]
Это — кубическая функция.
Шаг 2. Что нужно найти?
Кажется, есть часть задачи:
- Определить, при каких значениях \( c \) прямая \( y = c \) имеет с графиком функции ровно одну общую точку.
То есть, нужно:
\[
y = c \Rightarrow 7x^3 + 34x^2 - 7x - 34 = c
\]
или, по-другому:
\[ 7x^3 + 34x^2 - 7x - (34 + c) = 0 \]
Для каких значений \( c \) у этого уравнения есть ровно один корень?
Это — вопрос о характеристиках кубического уравнения.
Шаг 3. Анализ уравнения
Обозначим:
\[ f(x) = 7x^3 + 34x^2 - 7x - (34 + c) \]
Рассмотрим функцию:
\[ F(x) = 7x^3 + 34x^2 - 7x \]
Тогда уравнение:
\[ F(x) = 34 + c \]
Чтобы уравнение имело ровно один корень, оно должно иметь касание, то есть, точку, где график функции каснется прямой — касательная и график пересекаются в одной точке, причем — касание.
Для этого необходимо, чтобы у уравнения было:
- один общий корень (кратности 1 или 3), или
- чтобы левый и правый части уравнения касались — то есть имеем точку касания.
Это происходит, когда:
\[ f(x) = c \] и при этом:
\[ f'(x) = 0 \]
потому что касательная — это точка экстремума.
Шаг 4. Найдем критические точки у функции \( y = f(x) \)
Работаем с:
\[ f(x) = 7x^3 + 34x^2 - 7x \]
Найдем производную:
\[ f'(x) = 21x^2 + 68x - 7 \]
Для поиска точек экстремума решим:
\[ 21x^2 + 68x - 7 = 0 \]
Используем формулу:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 21 \), \( b = 68 \), \( c = -7 \):
\[ x = \frac{-68 \pm \sqrt{68^2 - 4 \times 21 \times (-7)}}{2 \times 21} \]
Расчеты:
\[ 68^2 = 4624 \] \[ 4 \times 21 \times (-7) = -588 \]
Следовательно,
\[ x = \frac{-68 \pm \sqrt{4624 + 588}}{42} = \frac{-68 \pm \sqrt{5212}}{42} \]
Далее, определим \(\sqrt{5212}\).
Приблизительно:
\[ \sqrt{5212} \approx 72.23 \]
Значит:
\[ x_1 = \frac{-68 + 72.23}{42} \approx \frac{4.23}{42} \approx 0.1007 \] \[ x_2 = \frac{-68 - 72.23}{42} \approx \frac{-140.23}{42} \approx -3.342 \]
Это — точки экстремума функции \( f(x) \).
Шаг 5. Определим значения функции \( f(x) \) в этих точках
Подставим \( x_1 \) и \( x_2 \) в \( f(x) \):
- Для \( x_1 \approx 0.1007 \):
\[ f(0.1007) \approx 7(0.1007)^3 + 34(0.1007)^2 - 7(0.1007) \]
Рассчитаем подробнее:
\[ (0.1007)^3 \approx 0.00102 \] \[ (0.1007)^2 \approx 0.01014 \]
Подставляем:
\[ f(0.1007) \approx 7 \times 0.00102 + 34 \times 0.01014 - 7 \times 0.1007 \] \[ \approx 0.00714 + 0.344 + (-0.7049) \approx -0.3538 \]
- Для \( x_2 \approx -3.342 \):
\[ (-3.342)^3 \approx -37.36 \] \[ (-3.342)^2 \approx 11.17 \]
Подставляем:
\[ f(-3.342) \approx 7 \times (-37.36) + 34 \times 11.17 - 7 \times (-3.342) \] \[ \approx -261.52 + 379.78 + 23.39 \approx 141.65 \]
Шаг 6. Определяем значения \( c \)
Поскольку касание происходит в точках экстремума (местах, где \( f'(x)=0 \)):
\[ c = f(x) = \text{значение функции в экстремумах} \]
Положим:
- для экстремума \( x_1 \approx 0.1007 \):
\[ c_1 \approx -0.3538 \]
- для экстремума \( x_2 \approx -3.342 \):
\[ c_2 \approx 141.65 \]
Значения \(c\), при которых прямая \( y=c \) касается графика функции ровно в одной точке, равны \( c_1 \) и \( c_2 \).
Ответ:
Прямая \( y=c \) имеет ровно одну общую точку с графиком функции, если и только если:
\[ c = -0.354 \quad \text{или} \quad c \approx 141.65 \]
(округление сделано для упрощения)
Если возникнут дополнительные вопросы или требуется более подробное объяснение — обращайтесь!
