.

Давайте решим задачу по шагам. **Дано:** - В равностороннем треугольнике проведена медиана \(AM = 4 \text{ см}\). - Требуется найти: 1. Угол \(\angle MAC\). 2. Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\). --- ### Шаг 1. Определение значений - В равностороннем треугольнике медиана — это также высота и биссектриса, поскольку все стороны равны, и все углы равны \(60^\circ\). - Медиана \(AM\) делит сторону \(BC\) пополам. --- ### Шаг 2. Обозначения - Пусть длина стороны треугольника — \(a\). - Медиана \(AM = 4 \text{ см}\). --- ### Шаг 3. Свойства равностороннего треугольника - В равностороннем треугольнике высота \(h\), медиана и биссектриса совпадают. - Длина высоты: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \] - Медиана делит сторону пополам. - Положение точки \(M\): она лежит на медиане \(AM\). --- ### Шаг 4. Найдём длину стороны \(a\) Поскольку медиана равна \(4 \text{ см}\), и это высота, то: \[ AM = h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \] Итак: \[ 4 = \frac{\sqrt{3}}{2}a \] Решая уравнение: \[ a = \frac{4 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \] Чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\): \[ a = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \text{ см} \] --- ### Шаг 5. Как найти угол \(\angle MAC\) Обозначим: - \(A\) — вершина, - \(M\) — точка на медиане, - \(C\) — одна из вершин, лежащая на стороне. Рассчитаем угол \(\angle MAC\): - В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\), - Медиана \(AM\) делит сторону \(BC\) пополам и образует с ней угол \(30^\circ\) (так как угол при вершине равен \(60^\circ\), медиана — биссектриса). Поскольку в равностороннем треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают, то точка \(M\) делит сторону \(BC\) пополам, а угол \(AMB = 30^\circ\). Чтобы найти \(\angle MAC\): Значение \(\angle MAC\) — это угол, образованный отрезком \(AM\) и стороной \(AC\). Поскольку \(AM\) — высота (и биссектриса) из вершины \(A\), а \(AC\) — сторона, углы в треугольнике равны \(60^\circ\). Следовательно, угол \(\angle MAC\) — это половина угла, образуемого медианой и стороной. --- ### **Вывод:** \[ \boxed{ \text{Угол } \angle MAC = 30^\circ } \] --- ### Шаг 6. Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\) Поскольку \(AM\) — высота в равностороннем треугольнике, и \(M\) лежит на медиане, то расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\): - так как \(AM\) — высота, оно перпендикулярно стороне \(BC\). - Однако, чтобы найти расстояние от \(M\) до стороны \(AC\), нужно рассчитать перпендикуляр от \(M\) к этому отрезку. Но, так как все стороны равны и \(M\) — точка, лежащая на медиане, то: **Расстояние от \(M\) до стороны \(AC\) равно высоте, проведённой к \(AC\)**. Высота \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}a = 4 \text{ см}\) (по условию). --- Самое важное — в равностороннем треугольнике высоты равны и делятся внутри треугольника. ### Итог: Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\): \[ \boxed{ 4\, \text{см} } \] --- ### Итоговые ответы: 1. \(\angle MAC = 30^\circ\) 2. Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\) — **4 см**. Если нужен более подробный разбор или расчет, скажите!