.

Давайте решим задачу по шагам.

Дано:

• В равностороннем треугольнике проведена медиана \(AM = 4 \text{ см}\).
• Требуется найти:
  1. Угол \(\angle MAC\).
  2. Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\).

---

Шаг 1. Определение значений

• В равностороннем треугольнике медиана — это также высота и биссектриса, поскольку все стороны равны, и все углы равны \(60^\circ\).

• Медиана \(AM\) делит сторону \(BC\) пополам.

---

Шаг 2. Обозначения

• Пусть длина стороны треугольника — \(a\).
• Медиана \(AM = 4 \text{ см}\).

---

Шаг 3. Свойства равностороннего треугольника

• В равностороннем треугольнике высота \(h\), медиана и биссектриса совпадают.
• Длина высоты: \[ h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \]
• Медиана делит сторону пополам.
• Положение точки \(M\): она лежит на медиане \(AM\).

---

Шаг 4. Найдём длину стороны \(a\)

Поскольку медиана равна \(4 \text{ см}\), и это высота, то:

\[ AM = h = \frac{\sqrt{3}}{2}a \]

Итак:

\[ 4 = \frac{\sqrt{3}}{2}a \]

Решая уравнение:

\[ a = \frac{4 \times 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} \]

Чтобы избавиться от иррациональности, умножим числитель и знаменатель на \(\sqrt{3}\):

\[ a = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \text{ см} \]

---

Шаг 5. Как найти угол \(\angle MAC\)

Обозначим:

• \(A\) — вершина,
• \(M\) — точка на медиане,
• \(C\) — одна из вершин, лежащая на стороне.

Рассчитаем угол \(\angle MAC\):

• В равностороннем треугольнике все углы равны \(60^\circ\),
• Медиана \(AM\) делит сторону \(BC\) пополам и образует с ней угол \(30^\circ\) (так как угол при вершине равен \(60^\circ\), медиана — биссектриса).

Поскольку в равностороннем треугольнике медиана, высота и биссектриса совпадают, то точка \(M\) делит сторону \(BC\) пополам, а угол \(AMB = 30^\circ\).

Чтобы найти \(\angle MAC\):

Значение \(\angle MAC\) — это угол, образованный отрезком \(AM\) и стороной \(AC\).

Поскольку \(AM\) — высота (и биссектриса) из вершины \(A\), а \(AC\) — сторона, углы в треугольнике равны \(60^\circ\).

Следовательно, угол \(\angle MAC\) — это половина угла, образуемого медианой и стороной.

---

Вывод:

\[ \boxed{ \text{Угол } \angle MAC = 30^\circ } \]

---

Шаг 6. Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\)

Поскольку \(AM\) — высота в равностороннем треугольнике, и \(M\) лежит на медиане, то расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\):

• так как \(AM\) — высота, оно перпендикулярно стороне \(BC\).
• Однако, чтобы найти расстояние от \(M\) до стороны \(AC\), нужно рассчитать перпендикуляр от \(M\) к этому отрезку.

Но, так как все стороны равны и \(M\) — точка, лежащая на медиане, то:

Расстояние от \(M\) до стороны \(AC\) равно высоте, проведённой к \(AC\).

Высота \(h = \frac{\sqrt{3}}{2}a = 4 \text{ см}\) (по условию).

---

Самое важное — в равностороннем треугольнике высоты равны и делятся внутри треугольника.

Итог:

Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\):

\[ \boxed{ 4\, \text{см} } \]

---

Итоговые ответы:

1. \(\angle MAC = 30^\circ\)
2. Расстояние от точки \(M\) до стороны \(AC\) — 4 см.

Если нужен более подробный разбор или расчет, скажите!