Рассмотрим задачу и обозначим необходимые переменные:
- Пусть скорость Димы при пути из города А в город В равна ( v ) (км/ч).
- Расстояние между городами ( S = 120 ) км.
- Скорость при возвращении из В в А равна ( v + 10 ) км/ч.
- Время, затраченное на путь из А в В: ( t_1 = \frac{S}{v} = \frac{120}{v} ).
- Время, затраченное на обратный путь (включая остановку): ( t_2 = \frac{S}{v+10} + 6 ) часов.
По условию, время возвращения — это столько же, сколько время пути из А в В, то есть:
[ t_2 = t_1 ]
Подставим выражения:
[
\frac{120}{v+10} + 6 = \frac{120}{v}
]
Решим это уравнение по переменной ( v ):
- Перенесем 6 в левую часть:
[
\frac{120}{v+10} = \frac{120}{v} - 6
]
- Приведем правую часть к общему знаменателю:
[
\frac{120}{v} - 6 = \frac{120 - 6v}{v}
]
- Получим уравнение:
[
\frac{120}{v+10} = \frac{120 - 6v}{v}
]
- Перемножим обе части на ( v(v+10) ), чтобы избавиться от дробей:
[
120v = (120 - 6v)(v + 10)
]
Раскроем скобки справа:
[
120v = 120(v + 10) - 6v(v + 10)
]
[
120v = 120v + 1200 - 6v^2 - 60v
]
- Перенесем все в левую сторону:
[
120v - 120v - 1200 + 6v^2 + 60v = 0
]
[
(120v - 120v + 60v) + 6v^2 - 1200 = 0
]
[
60v + 6v^2 = 1200
]
- Разделим всё на 6:
[
10v + v^2 = 200
]
- Запишем в виде квадратичного уравнения:
[
v^2 + 10v - 200 = 0
]
Решим это уравнение:
[
v^2 + 10v - 200 = 0
]
Используем формулу:
[
v = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a=1 ), ( b=10 ), ( c=-200 ):
[
v = \frac{-10 \pm \sqrt{(10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-200)}}{2}
]
[
v = \frac{-10 \pm \sqrt{100 + 800}}{2}
]
[
v = \frac{-10 \pm \sqrt{900}}{2}
]
[
v = \frac{-10 \pm 30}{2}
]
Два возможных варианта:
- ( v = \frac{-10 + 30}{2} = \frac{20}{2} = 10 )
- ( v = \frac{-10 - 30}{2} = \frac{-40}{2} = -20 ) (отрицательная скорость — невозможна)
Следовательно, допустимое решение:
[
v = 10 \text{ км/ч}
]
Теперь найдём скорость при обратной поездке:
[
v + 10 = 10 + 10 = 20 \text{ км/ч}
]
Ответ: Скорость Димы при пути из В в А равна 20 км/ч.
