В физической лаборатории проводят опыт по получению изображений освещаемой ручки в собирающей и рассеивающей линзах с одинаковым значением фокуса F. Сначала получают изображение…
В физической лаборатории проводят опыт по получению изображений освещаемой ручки в собирающей и рассеивающей линзах с одинаковым значением фокуса F. Сначала получают изображение предмета в собирающей линзе, потом — в рассеивающей, учитывая, что освещаемая ручка находится на расстоянии 2F от любой из линз. Рассчитай фокусное расстояние любой линзы, если расстояние от изображения предмета до линзы, полученного в собирающей линзе, больше расстояния от изображения предмета до линзы, полученного в рассеивающей линзе, на 20 см. (Ответ округли до целых.)
Рассмотрим задачу поэтапно, чтобы понять, как найти фокусное расстояние линзы \(F\).
Дано:
- Освещаемая ручка находится на расстоянии \(2F\) от любой линзы (и собирающей, и рассеивающей).
- Виды полученных изображений:
- В собирающей линзе — изображение предмета
- В рассеивающей линзе — изображение предмета
- Расстояние от изображения в собирающей линзе до самой линзы больше, чем аналогичное расстояние в рассеивающей линзе, на 20 см.
Обозначим:
- \(d\) — расстояние от предмета до линзы, а так как предмет на расстоянии \(2F\), то: \[ d = 2F \]
- \(d_{i1}\) — расстояние от предмета до изображения в собирающей линзе
- \(d_{i2}\) — расстояние от предмета до изображения в рассеивающей линзе
Также по условию, разность между двумя расстояниями изображения от предмета до каждого изображения равна 20 см:
\[ |d_{i1} - d_{i2}| = 20\, \text{см} \]
Теперь разобьёмся с формулами для собирающей и рассеивающей линз.
Формулы для тонкой линзы:
\[ \frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d_i} \]
или
\[ d_i = \frac{f d}{d - f} \]
где:
- \(f = F\) — фокусное расстояние, которое нам нужно найти,
- \(d = 2F\) — расстояние от предмета до линзы.
Для собирающей линзы:
\[ d_{i1} = \frac{F \cdot 2F}{2F - F} = \frac{2F^2}{F} = 2F \]
Итак, изображение в собирающей линзе расположено на расстоянии:
\[ d_{i1} = 2F \]
Для рассеивающей линзы:
Расстояние предмета до линзы тоже \(d = 2F\).
Поскольку линза — рассеивающая (рассеяющая):
\[ d_{i2} = \frac{-F \cdot 2F}{2F + F} = \frac{-2F^2}{3F} = -\frac{2F}{3} \]
Обратите внимание, что для рассеивающей линзы знак \(d_{i2}\) отрицателен (образ виртуальный, по مجему правилу признака +/–).
Рассмотрим разницу между расстояниями изображений:
Обозначим:
\[ |d_{i1} - d_{i2}| = 20\, \text{см} \]
подставим полученные значения:
\[ |2F - (-\frac{2F}{3})| = 20 \]
\[ |2F + \frac{2F}{3}| = 20 \]
приведём к общему знаменателю:
\[ \left| \frac{6F}{3} + \frac{2F}{3} \right| = 20 \]
\[ \left| \frac{8F}{3} \right| = 20 \]
Так как \(F\) положительно, получаем:
\[ \frac{8F}{3} = 20 \]
откуда:
\[ 8F = 60 \]
\[ F = \frac{60}{8} = 7.5\, \text{см} \]
Итог:
Общая фокусная длина линзы равна около 8 см (округлено до целого).
