Рассмотрим задачу поэтапно, чтобы понять, как найти фокусное расстояние линзы (F).
Дано:
- Освещаемая ручка находится на расстоянии (2F) от любой линзы (и собирающей, и рассеивающей).
- Виды полученных изображений:
- В собирающей линзе — изображение предмета
- В рассеивающей линзе — изображение предмета
- Расстояние от изображения в собирающей линзе до самой линзы больше, чем аналогичное расстояние в рассеивающей линзе, на 20 см.
Обозначим:
- (d) — расстояние от предмета до линзы, а так как предмет на расстоянии (2F), то:
[
d = 2F
]
- (d_{i1}) — расстояние от предмета до изображения в собирающей линзе
- (d_{i2}) — расстояние от предмета до изображения в рассеивающей линзе
Также по условию, разность между двумя расстояниями изображения от предмета до каждого изображения равна 20 см:
[
|d_{i1} - d_{i2}| = 20, \text{см}
]
Теперь разобьёмся с формулами для собирающей и рассеивающей линз.
Формулы для тонкой линзы:
[
\frac{1}{f} = \frac{1}{d} + \frac{1}{d_i}
]
или
[
d_i = \frac{f d}{d - f}
]
где:
- (f = F) — фокусное расстояние, которое нам нужно найти,
- (d = 2F) — расстояние от предмета до линзы.
Для собирающей линзы:
[
d_{i1} = \frac{F \cdot 2F}{2F - F} = \frac{2F^2}{F} = 2F
]
Итак, изображение в собирающей линзе расположено на расстоянии:
[
d_{i1} = 2F
]
Для рассеивающей линзы:
Расстояние предмета до линзы тоже (d = 2F).
Поскольку линза — рассеивающая (рассеяющая):
[
d_{i2} = \frac{-F \cdot 2F}{2F + F} = \frac{-2F^2}{3F} = -\frac{2F}{3}
]
Обратите внимание, что для рассеивающей линзы знак (d_{i2}) отрицателен (образ виртуальный, по مجему правилу признака +/–).
Рассмотрим разницу между расстояниями изображений:
Обозначим:
[
|d_{i1} - d_{i2}| = 20, \text{см}
]
подставим полученные значения:
[
|2F - (-\frac{2F}{3})| = 20
]
[
|2F + \frac{2F}{3}| = 20
]
приведём к общему знаменателю:
[
\left| \frac{6F}{3} + \frac{2F}{3} \right| = 20
]
[
\left| \frac{8F}{3} \right| = 20
]
Так как (F) положительно, получаем:
[
\frac{8F}{3} = 20
]
откуда:
[
8F = 60
]
[
F = \frac{60}{8} = 7.5, \text{см}
]
Итог:
Общая фокусная длина линзы равна около 8 см (округлено до целого).
Ответ: 8 см
