В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна 3/2 см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции.

Давайте разберемся с условием и пошагово решим задачу. **Обозначение:** - Пусть \(A, B, C, K\) — вершины трапеции, расположенной так: \(AB\) — верхнее основание, \(СК\) — нижнее основание. - Трапеция прямоугольная, значит у неё есть изначально (рисунке) перпендикулярные стороны. - Большая боковая сторона равна \(\frac{3}{2}\) см. - Угол \(\angle К = 45^\circ\). - Высота \(СН\) делит основание \(АК\) пополам. **Шаг 1: Уточнение конфигурации** Поскольку трапеция прямоугольная и основание \(АК\) делится пополам высотой, предположим, что: - основание \(АК\) — нижнее (длина неизвестна), - высота \(СН\) — перпендикуляр от вершины \(C\) к основанию \(AK\), - \(\angle K = 45^\circ\) — это, скорее всего, наклон стороны у вершины \(K\). Обозначим: - \(A = (0,0)\), - \(K = (k,0)\), - \(C\) — вершина, находящаяся выше основания \(AK\), - \(B\) — вершина, находящаяся выше другого конца горізонтальной стороны. **Шаг 2: Анализ данных** Поскольку "высота СН делит основание АК пополам" — значит: \[ H\text{-точка} \quad H = \text{проекция } C \text{ на } AK,\quad H = \left(\frac{k}{2}, 0\right) \quad \text{(так как высота перпендикулярна \(AK\))}. \] Также, высота \(CH\) — перпендикуляр к основанию \(AK\). Тогда вершина \(C\) находится в \(H\) сверху по вертикали. Пусть \(C = \left(\frac{k}{2}, h\right)\), где \(h\) — высота трапеции. **Шаг 3: Используем угол \(45^\circ\) в вершине \(K\).** Угол \(K\) — это угол между боковой сторон \(\overline{CK}\) и основанием \(AK\). Тогда у нас есть: \[ \angle K = 45^\circ, \] где \(K\) — вершина в конце основания \(AK\). Обозначим: - \(K = (k, 0)\), - \(C = \left(\frac{k}{2}, h\right)\), - \(B\) — вершина, либо другая вершина, неясно. Т.к. \( \angle K = 45^\circ \), то в треугольнике \(\triangle C K H\): - отрезок \(K C\), - и угол при \(K\) — \(45^\circ\). Рассмотрим вектор \(\overrightarrow{K C} = \left(\frac{k}{2} - k, h - 0 \right) = \left(-\frac{k}{2}, h\right)\). Аналогично, вектор по основанию (предположим, вдоль оси \(x\)): \[ \overrightarrow{K H} = \left(\frac{k}{2} - k, 0 - 0\right) = \left(-\frac{k}{2}, 0\right). \] Для определения угла между векторами \( \overrightarrow{K C} \) и \(\overrightarrow{K H}\), воспользуемся скалярным произведением: \[ \cos 45^\circ = \frac{\overrightarrow{K C} \cdot \overrightarrow{K H}}{|\overrightarrow{K C}| |\overrightarrow{K H}|}. \] Посчитаем: \[ \overrightarrow{K C} \cdot \overrightarrow{K H} = \left(-\frac{k}{2}\right) \cdot \left(-\frac{k}{2}\right) + h \cdot 0 = \frac{k^2}{4}. \] Длины: \[ |\overrightarrow{K C}| = \sqrt{\left(-\frac{k}{2}\right)^2 + h^2} = \sqrt{\frac{k^2}{4} + h^2}, \] \[ |\overrightarrow{K H}| = \sqrt{\left(-\frac{k}{2}\right)^2 + 0} = \frac{k}{2}. \] Подставляем в формулу: \[ \cos 45^\circ = \frac{\frac{k^2}{4}}{\sqrt{\frac{k^2}{4} + h^2} \cdot \frac{k}{2}}. \] Упрощаем: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\frac{k^2}{4}}{\frac{k}{2} \sqrt{\frac{k^2}{4} + h^2}}. \] Перенесем знаменатель внутрь: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\frac{k^2}{4}}{\frac{k}{2} \sqrt{\frac{k^2}{4} + h^2}}. \] Объясним: \[ \frac{\frac{k^2}{4}}{\frac{k}{2}} = \frac{k^2/4}{k/2} = \frac{k^2}{4} \times \frac{2}{k} = \frac{k}{2}. \] Тогда получается: \[ \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\frac{k}{2}}{\sqrt{\frac{k^2}{4} + h^2}}. \] Перепишем: \[ \sqrt{\frac{k^2}{4} + h^2} = \frac{k/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{k/2}{\sqrt{2}/2} = \frac{k/2 \times 2}{\sqrt{2}} = \frac{k}{\sqrt{2}}. \] Итак, \[ \sqrt{\frac{k^2}{4} + h^2} = \frac{k}{\sqrt{2}}. \] Квадратим обе части: \[ \frac{k^2}{4} + h^2 = \frac{k^2}{2}. \] Вычитаем \(\frac{k^2}{4}\): \[ h^2 = \frac{k^2}{2} - \frac{k^2}{4} = \frac{2k^2 - k^2}{4} = \frac{k^2}{4}. \] Следовательно, \[ h = \frac{k}{2}. \] **Шаг 4: Определение боковой стороны** Поскольку \(C = \left(\frac{k}{2}, h\right) = \left(\frac{k}{2}, \frac{k}{2}\right)\), - \(A = (0,0)\), - \(K = (k,0)\), - \(C = \left(\frac{k}{2}, \frac{k}{2}\right)\). Пусть \(B\) — вершина, расположенная вертикально выше \(A\) (поскольку это прямоугольная трапеция, и она обычно называет основание сверху и снизу). Обозначим: - \(B = (b, h_b)\), с \(h_b\) высотой. Но в условии сказано, что "большая боковая сторона равна \(3/2\) см". Проверим стороны: - \(AB\), - \(CK\), - \(A C\), - и боковые. Обратим внимание, что боковая сторона равна \(\frac{3}{2}\) см, и она, скорее всего, сторона \(A B\) или \(C K\). Пусть \(A B\) — боковая сторона: \[ A = (0,0), \] \[ B = (0, y), \] тогда длина: \[ |A B| = y = \frac{3}{2} \text{ см}. \] Поскольку \(A B\) — вертикальный отрезок (для прямоугольной трапеции), то \(B = (0, 1.5)\). Аналогично: - \(K = (k, 0)\), - \(C = (\frac{k}{2}, \frac{k}{2})\). **Шаг 5: Найдём длину основания \(AK\).** \[ AK = k, \] а \(H = (\frac{k}{2}, 0)\), - высота \(CH\) равна \(\frac{k}{2}\). На данном этапе можно сделать вывод, что искомая длина основания \(AK = k\), а высота \(h = \frac{k}{2}\). **Шаг 6: Используем крупные стороны** Боковая сторона \(A B = 1.5\). - говоря о "большая боковая сторона равна 3/2 см", предполагается, что: \[ A B = 1.5, \] или же какая-то боковая сторона. Проверим, какой из боковых сторон равен \(1.5\): - \(A B\) — вертикальна и равна \(1.5\), - \(C K\): \[ C = \left(\frac{k}{2}, \frac{k}{2}\right), \] \[ K = (k, 0). \] Длина \(C K\): \[ |C K| = \sqrt{\left(k - \frac{k}{2}\right)^2 + \left(0 - \frac{k}{2}\right)^2} = \sqrt{\left(\frac{k}{2}\right)^2 + \left(- \frac{k}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{k^2}{4} + \frac{k^2}{4}} = \sqrt{\frac{k^2}{2}} = \frac{k}{\sqrt{2}}. \] Но мы ранее нашли, что \(h = \frac{k}{2}\), и так как высота \(h\) и длина боковой стороны, предположительно, связаны: Если боковая сторона — \(A B = 1.5\), тогда \(A B = 1.5\). Итак, у нас есть: \[ A B = 1.5. \] Поскольку \(A = (0, 0)\), \(B = (0, 1.5)\), то высота трапеции. **Шаг 7: Вычисление основания \(AK\)** Длина основания \(AK = k\). Высота \(h\) равна 1.5, так как \(A B\) вертикально, и базируется на этом. Тогда: \[ h = 1.5, \] а по ранее полученному: \[ h = \frac{k}{2}, \] отсюда: \[ 1.5 = \frac{k}{2} \implies k = 3. \] **Шаг 8: Итоговые данные** - основание \(AK\) равно 3 см, - высота \(h = 1.5\, \text{см}\), - точка \(C = (\frac{k}{2}, h) = (1.5, 1.5)\), - основание \(AK = 3\), - боковая сторона, например, \(A B = 1.5\), - сторона \(C K\): \[ |C K| = \frac{k}{\sqrt{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{2} \text{ см}. \] Эту сторону можно считать боковой стороной (например, \(C K\)), это соответствует условию. **Шаг 9: Найти площадь трапеции** Площадь трапеции: \[ S = \frac{1}{2} (A K + B C) \times \text{высота}. \] - основание \(A K = 3\), - основание \(B C\) — это боковая сторона, которая не указана явно, но поскольку лежит между \(B\) и \(C\), Пусть основание сверху — \(A B\), а нижнее — \(A K\), тогда: - верхнее основание — длина отрезка \(A B\) — равно 1.5, - нижнее — \(A K = 3\), - высота — 1.5. Тогда площадь: \[ S = \frac{1}{2} (1.5 + 3) \times 1.5 = \frac{1}{2} \times 4.5 \times 1.5 = 0.5 \times 4.5 \times 1.5. \] Посчитаем: \[ 0.5 \times 4.5 = 2.25, \] \[ 2.25 \times 1.5 = 3.375. \] **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Площадь трапеции равна } 3.375 \text{ см}^2.} \] --- **Итог:** площадь трапеции равна **3.375 квадратных сантиметров**.