Угол между боковой гранью правильной пирамиды S ABCD и плоскостью основания равен 45° • Найди косинус угла между боковыми гранями пирамиды.
Рассмотрим задачу подробнее.
Дано:
- Правильная пирамида S ABCD, где основание — квадрат (или треугольник, обычно для правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, предположим квадрат, если не указано иное).
- Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 45°.
Требуется: найти косинус угол между боковыми гранями.
Шаг 1. Анализ условия
- Упоминание "боковая грань" обычно означает треугольную грань (например, △SAB).
- Боковая грань — это плоскость, которая состоит из вершины S и двух смежных вершин основания.
- "Угол между боковой гранью и плоскостью основания" равен 45°. Значит, этот угол — угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.
Шаг 2. Что нам известно о правильной пирамиде
- В правильной пирамиде центр основания — точка O, равнодействующая центр квадратного основания.
- Высота S до центра основания перпендикулярна основанию.
Шаг 3. Ввод координат
Обозначим:
- Плоскость основания — XY, с центром M в точке (0,0,0).
- Вершина пирамиды — S, находящаяся прямо выше центра M, на высоте h.
- Вершины основания — A, B, C, D.
Пусть:
- А = (a, a, 0)
- B = (-a, a, 0)
- C = (-a, -a, 0)
- D = (a, -a, 0)
Где a — половина стороны квадрата.
Тогда вершина S находится в точке (0,0,h).
Шаг 4. Величина угла между боковой гранью и плоскостью основания
Рассмотрим боковую грань SAB.
- Ее плоскость можно найти по трем точкам: S(0,0,h), A(a,a,0), B(-a,a,0).
Нам нужен угол между этой плоскостью и плоскостью основания XY.
- Углы между плоскостями задаются через нормальные векторы.
Нормаль к основанию XY:
\(\vec{n}_0 = (0, 0, 1)\).
Нормаль к боковой грани SАB:
Вектор \(\vec{A B} = B - A = (-a - a, a - a, 0 - 0) = (-2a, 0, 0)\).
Вектор \(\vec{A S} = S - A = (0 - a, 0 - a, h - 0) = (-a, -a, h)\).
Нормаль к плоскости через векторное произведение:
\(\vec{n}_{SAB} = \vec{A B} \times \vec{A S}\).
Рассчитаем:
\[
\vec{A B} \times \vec{A S} =
\begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\
-2a & 0 & 0 \\
-a & -a & h \\
\end{vmatrix}
\]
Вычислим компоненты:
\( \mathbf{i} \): \( (0 \times h) - (0 \times -a) = 0 - 0 = 0 \)
\( \mathbf{j} \): \( -(-2a \times h) - (0 \times -a) = 2a h - 0 = 2a h \)
\( \mathbf{k} \): \( (-2a) \times (-a) - (0 \times -a) = 2a^2 - 0 = 2a^2 \)
Итак,
\[ \vec{n}_{SAB} = (0, 2a h, 2a^2) \]
Модуль этого вектора:
\[
|\vec{n}_{SAB}| = \sqrt{0^2 + (2a h)^2 + (2a^2)^2} = \sqrt{4a^2 h^2 + 4a^4} = 2a \sqrt{h^2 + a^2}
\]
Шаг 5. Угол между плоскостью боковой грани и основанием
Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями.
Нормаль основания — \(\vec{n}_0 = (0, 0, 1)\)
Нормаль боковой грани \(\vec{n}_{SAB} = (0, 2a h, 2a^2)\)
Общий угол (\(\theta\)) определяется через скалярное произведение:
\[ \cos{\theta} = \frac{\vec{n}_0 \cdot \vec{n}_{SAB}}{|\vec{n}_0| |\vec{n}_{SAB}|} \]
Вычислим скалярное произведение:
\[ \vec{n}_0 \cdot \vec{n}_{SAB} = (0,0,1) \cdot (0, 2a h, 2a^2) = 2a^2 \]
Модуль \(\vec{n}_0 = 1\)
Подставим:
\[ \cos{45^\circ} = \frac{2a^2}{1 \times 2a \sqrt{h^2 + a^2}} = \frac{2a^2}{2a \sqrt{h^2 + a^2}} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} \]
Известно, что по условию угол между боковой гранью и основанием равен 45°, а это precisamente угол \(\theta\).
Следовательно:
\[ \cos{45^\circ} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} \]
Значит:
\[ \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Приведем к виду:
\[ \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Возьмем обе части в квадрат:
\[ \frac{a^2}{h^2 + a^2} = \frac{1}{2} \]
Перекрестное умножение:
\[ 2a^2 = h^2 + a^2 \]
Отсюда:
\[ h^2 = a^2 \]
Значит:
\[ h = a \]
- Высота \(h = a\).
Шаг 6. Расчет косинуса между боковыми гранями
Боковые грани — это две треугольные плоскости, например:
- \(\triangle SAB\)
- \(\triangle SAC\)
Нам нужно найти угол между двумя этими плоскостями.
Для этого найдём их нормали:
- \(\vec{n}_{SAB}\) — уже есть (как выше):
\[ (0, 2a h, 2a^2) \]
- \(\vec{n}_{SAC}\):
Аналогично, возьмем точки S(0,0,a), C(-a,-a,0), A(a,a,0).
- Векторы:
\(\vec{A C} = C - A = (-a - a, -a - a, 0 - a) = (-2a, -2a, -a)\)
\(\vec{A S} = (0 - a, 0 - a, a - 0) = (-a, -a, a)\)
- Нормаль \(\vec{n}_{SAC} = \vec{A C} \times \vec{A S}\):
\[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2a & -2a & -a \\ -a & -a & a \\ \end{vmatrix} \]
Рассчитаем компоненты:
\(\mathbf{i}\): \((-2a)(a) - (-a)(-a) = -2a^2 - a^2 = -3a^2\)
\(\mathbf{j}\): \(-[(-2a)(a) - (-a)(-2a)] = -[ -2a^2 - a^2 ] = -(-3a^2) = 3a^2\)
\(\mathbf{k}\): \((-2a)(-a) - (-2a)(-a) = 2a^2 - 2a^2=0\)
Итак,
\[ \vec{n}_{SAC} = (-3a^2, 3a^2, 0) \]
Модуль:
\[ |\vec{n}_{SAC}| = \sqrt{( -3a^2)^2 + (3a^2)^2 + 0} = \sqrt{9a^4 + 9a^4} = \sqrt{18a^4} = 3a^2 \sqrt{2} \]
Шаг 7. Косинус угла между гранями
- Нормали: \(\vec{n}_{SAB} = (0, 2a h, 2a^2)\), и т.к. \(h=a\),
\[ \vec{n}_{SAB} = (0, 2a^2, 2a^2) \]
- \(\vec{n}_{SAC} = (-3a^2, 3a^2, 0)\)
Скалярное произведение:
\[ \vec{n}_{SAB} \cdot \vec{n}_{SAC} = 0 \cdot (-3a^2) + 2a^2 \cdot 3a^2 + 2a^2 \cdot 0 = 6a^4 \]
Модули:
\[ |\vec{n}_{SAB}| = 2a \sqrt{h^2 + a^2} = 2a \sqrt{a^2 + a^2} = 2a \sqrt{2a^2} = 2a \cdot a \sqrt{2} = 2a^2 \sqrt{2} \]
\[ |\vec{n}_{SAC}| = 3a^2 \sqrt{2} \]
Следовательно,
\[ \cos{\phi} = \frac{6a^4}{(2a^2 \sqrt{2})(3a^2 \sqrt{2})} \]
Нижнее выражение упростим:
\[ (2a^2 \sqrt{2})(3a^2 \sqrt{2}) = 2a^2 \cdot 3a^2 \cdot (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 6a^4 \times 2 = 12a^4 \]
Итак,
\[ \cos{\phi} = \frac{6a^4}{12a^4} = \frac{1}{2} \]
Итог:
Ответ:
Косинус угла между боковыми гранями = \(\frac{1}{2}\) или 0.5.
Если нужно пояснение или помощь с дополнительными задачами — обращайтесь!
