Угол между боковой гранью правильной пирамиды S ABCD и плоскостью основания равен 45° • Найди косинус угла между боковыми гранями пирамиды.

Рассмотрим задачу подробнее. Дано: - Правильная пирамида S ABCD, где основание — квадрат (или треугольник, обычно для правильной пирамиды основание — правильный многоугольник, предположим квадрат, если не указано иное). - Угол между боковой гранью и плоскостью основания равен 45°. Требуется: найти косинус угол между боковыми гранями. --- **Шаг 1. Анализ условия** - Упоминание "боковая грань" обычно означает треугольную грань (например, △SAB). - Боковая грань — это плоскость, которая состоит из вершины S и двух смежных вершин основания. - "Угол между боковой гранью и плоскостью основания" равен 45°. Значит, этот угол — угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания. --- **Шаг 2. Что нам известно о правильной пирамиде** - В правильной пирамиде центр основания — точка O, равнодействующая центр квадратного основания. - Высота S до центра основания перпендикулярна основанию. --- **Шаг 3. Ввод координат** Обозначим: - Плоскость основания — XY, с центром M в точке (0,0,0). - Вершина пирамиды — S, находящаяся прямо выше центра M, на высоте h. - Вершины основания — A, B, C, D. Пусть: - А = (a, a, 0) - B = (-a, a, 0) - C = (-a, -a, 0) - D = (a, -a, 0) Где a — половина стороны квадрата. Тогда вершина S находится в точке (0,0,h). --- **Шаг 4. Величина угла между боковой гранью и плоскостью основания** Рассмотрим боковую грань SAB. - Ее плоскость можно найти по трем точкам: S(0,0,h), A(a,a,0), B(-a,a,0). Нам нужен угол между этой плоскостью и плоскостью основания XY. - Углы между плоскостями задаются через нормальные векторы. **Нормаль к основанию XY:** \(\vec{n}_0 = (0, 0, 1)\). **Нормаль к боковой грани SАB:** - Вектор \(\vec{A B} = B - A = (-a - a, a - a, 0 - 0) = (-2a, 0, 0)\). - Вектор \(\vec{A S} = S - A = (0 - a, 0 - a, h - 0) = (-a, -a, h)\). Нормаль к плоскости через векторное произведение: \(\vec{n}_{SAB} = \vec{A B} \times \vec{A S}\). Рассчитаем: \[ \vec{A B} \times \vec{A S} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2a & 0 & 0 \\ -a & -a & h \\ \end{vmatrix} \] Вычислим компоненты: - \( \mathbf{i} \): \( (0 \times h) - (0 \times -a) = 0 - 0 = 0 \) - \( \mathbf{j} \): \( -(-2a \times h) - (0 \times -a) = 2a h - 0 = 2a h \) - \( \mathbf{k} \): \( (-2a) \times (-a) - (0 \times -a) = 2a^2 - 0 = 2a^2 \) Итак, \[ \vec{n}_{SAB} = (0, 2a h, 2a^2) \] Модуль этого вектора: \[ |\vec{n}_{SAB}| = \sqrt{0^2 + (2a h)^2 + (2a^2)^2} = \sqrt{4a^2 h^2 + 4a^4} = 2a \sqrt{h^2 + a^2} \] --- **Шаг 5. Угол между плоскостью боковой грани и основанием** - Угол между двумя плоскостями равен углу между их нормалями. - Нормаль основания — \(\vec{n}_0 = (0, 0, 1)\) - Нормаль боковой грани \(\vec{n}_{SAB} = (0, 2a h, 2a^2)\) Общий угол (\(\theta\)) определяется через скалярное произведение: \[ \cos{\theta} = \frac{\vec{n}_0 \cdot \vec{n}_{SAB}}{|\vec{n}_0| |\vec{n}_{SAB}|} \] Вычислим скалярное произведение: \[ \vec{n}_0 \cdot \vec{n}_{SAB} = (0,0,1) \cdot (0, 2a h, 2a^2) = 2a^2 \] Модуль \(\vec{n}_0 = 1\) Подставим: \[ \cos{45^\circ} = \frac{2a^2}{1 \times 2a \sqrt{h^2 + a^2}} = \frac{2a^2}{2a \sqrt{h^2 + a^2}} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} \] Известно, что по условию угол между боковой гранью и основанием равен 45°, а это precisamente угол \(\theta\). Следовательно: \[ \cos{45^\circ} = \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} \] Значит: \[ \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Приведем к виду: \[ \frac{a}{\sqrt{h^2 + a^2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \] Возьмем обе части в квадрат: \[ \frac{a^2}{h^2 + a^2} = \frac{1}{2} \] Перекрестное умножение: \[ 2a^2 = h^2 + a^2 \] Отсюда: \[ h^2 = a^2 \] Значит: \[ h = a \] - Высота \(h = a\). --- **Шаг 6. Расчет косинуса между боковыми гранями** Боковые грани — это две треугольные плоскости, например: - \(\triangle SAB\) - \(\triangle SAC\) Нам нужно найти угол между двумя этими плоскостями. Для этого найдём их нормали: - \(\vec{n}_{SAB}\) — уже есть (как выше): \[ (0, 2a h, 2a^2) \] - \(\vec{n}_{SAC}\): Аналогично, возьмем точки S(0,0,a), C(-a,-a,0), A(a,a,0). - Векторы: \(\vec{A C} = C - A = (-a - a, -a - a, 0 - a) = (-2a, -2a, -a)\) \(\vec{A S} = (0 - a, 0 - a, a - 0) = (-a, -a, a)\) - Нормаль \(\vec{n}_{SAC} = \vec{A C} \times \vec{A S}\): \[ \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -2a & -2a & -a \\ -a & -a & a \\ \end{vmatrix} \] Рассчитаем компоненты: - \(\mathbf{i}\): \((-2a)(a) - (-a)(-a) = -2a^2 - a^2 = -3a^2\) - \(\mathbf{j}\): \(-[(-2a)(a) - (-a)(-2a)] = -[ -2a^2 - a^2 ] = -(-3a^2) = 3a^2\) - \(\mathbf{k}\): \((-2a)(-a) - (-2a)(-a) = 2a^2 - 2a^2=0\) Итак, \[ \vec{n}_{SAC} = (-3a^2, 3a^2, 0) \] Модуль: \[ |\vec{n}_{SAC}| = \sqrt{( -3a^2)^2 + (3a^2)^2 + 0} = \sqrt{9a^4 + 9a^4} = \sqrt{18a^4} = 3a^2 \sqrt{2} \] --- **Шаг 7. Косинус угла между гранями** - Нормали: \(\vec{n}_{SAB} = (0, 2a h, 2a^2)\), и т.к. \(h=a\), \[ \vec{n}_{SAB} = (0, 2a^2, 2a^2) \] - \(\vec{n}_{SAC} = (-3a^2, 3a^2, 0)\) Скалярное произведение: \[ \vec{n}_{SAB} \cdot \vec{n}_{SAC} = 0 \cdot (-3a^2) + 2a^2 \cdot 3a^2 + 2a^2 \cdot 0 = 6a^4 \] Модули: \[ |\vec{n}_{SAB}| = 2a \sqrt{h^2 + a^2} = 2a \sqrt{a^2 + a^2} = 2a \sqrt{2a^2} = 2a \cdot a \sqrt{2} = 2a^2 \sqrt{2} \] \[ |\vec{n}_{SAC}| = 3a^2 \sqrt{2} \] Следовательно, \[ \cos{\phi} = \frac{6a^4}{(2a^2 \sqrt{2})(3a^2 \sqrt{2})} \] Нижнее выражение упростим: \[ (2a^2 \sqrt{2})(3a^2 \sqrt{2}) = 2a^2 \cdot 3a^2 \cdot (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 6a^4 \times 2 = 12a^4 \] Итак, \[ \cos{\phi} = \frac{6a^4}{12a^4} = \frac{1}{2} \] --- ## Итог: **Ответ:** Косинус угла между боковыми гранями = \(\frac{1}{2}\) или 0.5. --- Если нужно пояснение или помощь с дополнительными задачами — обращайтесь!