Давайте решим задачу по шагам.
Обозначим мощности насосов как:
- (A) — мощность первого насоса (часть бассейна за 1 минуту),
- (B) — мощность второго насоса,
- (C) — мощность третьего насоса.
Шаг 1. Запишем условия задачи в виде уравнений.
Из условия:
- Первый и второй насосы вместе за 21 минуту наполняют бассейн:
[
A + B = \frac{1}{21}
]
- Второй и третий насосы за 36 минут:
[
B + C = \frac{1}{36}
]
- Первый и третий за 28 минут:
[
A + C = \frac{1}{28}
]
Шаг 2. Решим систему уравнений.
Нам нужно найти сумму (A + B + C).
Добавим все три уравнения:
[
(A + B) + (B + C) + (A + C) = \frac{1}{21} + \frac{1}{36} + \frac{1}{28}
]
Левая часть:
[
A + B + B + C + A + C = 2(A + B + C)
]
Правая часть — сумма дробей:
[
\frac{1}{21} + \frac{1}{36} + \frac{1}{28}
]
Найдём сумму правых частей:
Наименьшее общее кратное для 21, 36 и 28 — это число, делящееся на все три:
- (21 = 3 \times 7)
- (36 = 2^2 \times 3^2)
- (28 = 2^2 \times 7)
Наименьшее общее кратное:
[
2^2 \times 3^2 \times 7 = 4 \times 9 \times 7 = 252
]
Перепишем дроби с знаменателем 252:
[
\frac{1}{21} = \frac{12}{252}
]
[
\frac{1}{36} = \frac{7}{252}
]
[
\frac{1}{28} = \frac{9}{252}
]
Сумма:
[
\frac{12 + 7 + 9}{252} = \frac{28}{252} = \frac{1}{9}
]
Теперь возвращаемся к уравнению:
[
2(A + B + C) = \frac{1}{9}
]
Отсюда:
[
A + B + C = \frac{1}{18}
]
Шаг 3. Найдём время, за которое все три насоса заполнят бассейн.
Мощность всех трех насосов вместе — это (A + B + C), то есть (\frac{1}{18}) бассейна в минуту.
Ответ: время, за которое три насоса заполнят бассейн:
[
T = \frac{1}{A + B + C} = \frac{1}{\frac{1}{18}} = 18 \text{ минут}
]
Итог:
Ответ: три насоса вместе заполнят бассейн за 18 минут.
