Построй график функции. 2x²+6x+3,x> либо равно -2 x+2,x< -2 и определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Только ответ

Чтобы решить задачу, рассмотрим две части: построение графика функции и определение значений m. **Шаг 1. Разбиение функции на две части:** \[ f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \] **Шаг 2. Построение графика:** - Для \( x \geq -2 \): график — парабола \( y = 2x^2 + 6x + 3 \). - Для \( x < -2 \): график — прямая \( y = x + 2 \). **Шаг 3. Анализ параболы** - Вершина параболы: \[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -1.5 \] - Значение в вершине: \[ y_v = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) + 3 = 2 \cdot 2.25 - 9 + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5 \] - Значение параболы в точке \( x = -2 \): \[ f(-2) = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 2 \cdot 4 - 12 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \] Также отметим точку \( x = -2 \), в которой парабола и прямая встречаются по условию. Значение в этой точке равно \(-1\). **Шаг 4. Построение графика** - Парабола: ветви вверх, вершина в \((-1.5, -1.5)\), а в точке \(-2\) значение \(-1\). - Прямая: \( y = x + 2 \). **Шаг 5. Анализ пересечений с прямой \( y = m \)** - Рассмотрим произвольную горизонтальную линию \( y = m \). **Случай 1:** \( m > -1 \) - В области \( x \geq -2 \): \[ 2x^2 + 6x + 3 = m \Rightarrow 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \] Количество решений зависит от diskriminanta: \[ D = 36 - 8(3 - m) = 36 - 24 + 8m = 12 + 8m \] - Для двух решений: \[ D > 0 \Rightarrow 12 + 8m > 0 \Rightarrow m > -\frac{3}{2} \] - Решения: \[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{D}}{4} \] - В области \( x < -2 \): \[ x + 2 = m \Rightarrow x = m - 2 \] Чтобы график и прямая имели ровно две общие точки, нужно рассмотреть случаи пересечений: 1. если \( m > -1 \), парабола дает 2 решения \( x \) на \( x \geq -2 \), а прямая при \( x = m-2 \): - Для ровно двух точек общий случай — когда: - либо прямая не пересекается с параболой на \( x < -2 \), - либо она пересекается с ней в точке, которая не совпадает с точками параболы. 2. проверим возможные значения \( m \), чтобы было ровно 2 пересечения. **Общий результат:** - Пересечение с параболой — в двух точках (при \( D > 0 \)). - Пересечение с прямой — в одной точке \( x = m - 2 \). Чтобы было ровно две точки, необходимо, чтобы: - прямую пересекала параболу ровно в одной точке (при \( D=0 \)), или - иначе, чтобы прямая пересекала параболу в двух точках и при этом не пересекалась на другом участке графика. **Шаг 6. Итог** Рассмотрим, при каких \( m \): - \( D = 12 + 8m \): \[ D = 0 \Rightarrow 12 + 8m = 0 \Rightarrow m = -\frac{3}{2} \] - При \( m = -\frac{3}{2} \), парабола и линия касаются, и затем: - если \( m > -\frac{3}{2} \), \( D > 0 \): 2 решения — две точки на графике параболы. - если \( m < -\frac{3}{2} \), \( D < 0 \): решений нет. - Условие равенства \( y = m \) с прямой \( y = x+2 \): \[ x = m - 2 \] - Для ровно двух точек необходимо, чтобы \( m \neq -\frac{3}{2} \), так как при этом касание и только одно решение. **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Значения } m: \quad m \neq -\frac{3}{2} } \] Прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции при всех \( m \), кроме \( m = -\frac{3}{2} \).