Построй график функции. 2x²+6x+3,x> либо равно -2 x+2,x< -2 и определи, при каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки. Только ответ

Чтобы решить задачу, рассмотрим две части: построение графика функции и определение значений m.

Шаг 1. Разбиение функции на две части:

\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \]

Шаг 2. Построение графика:

• Для \( x \geq -2 \): график — парабола \( y = 2x^2 + 6x + 3 \).
• Для \( x < -2 \): график — прямая \( y = x + 2 \).

Шаг 3. Анализ параболы

• Вершина параболы:

\[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{6}{2 \cdot 2} = -\frac{6}{4} = -1.5 \]

• Значение в вершине:

\[ y_v = 2(-1.5)^2 + 6(-1.5) + 3 = 2 \cdot 2.25 - 9 + 3 = 4.5 - 9 + 3 = -1.5 \]

• Значение параболы в точке \( x = -2 \):

\[ f(-2) = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 2 \cdot 4 - 12 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \]

Также отметим точку \( x = -2 \), в которой парабола и прямая встречаются по условию. Значение в этой точке равно \(-1\).

Шаг 4. Построение графика

• Парабола: ветви вверх, вершина в \((-1.5, -1.5)\), а в точке \(-2\) значение \(-1\).
• Прямая: \( y = x + 2 \).

Шаг 5. Анализ пересечений с прямой \( y = m \)

• Рассмотрим произвольную горизонтальную линию \( y = m \).

Случай 1: \( m > -1 \)

• В области \( x \geq -2 \):

\[ 2x^2 + 6x + 3 = m \Rightarrow 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \]

Количество решений зависит от diskriminanta:

\[ D = 36 - 8(3 - m) = 36 - 24 + 8m = 12 + 8m \]

• Для двух решений:

\[ D > 0 \Rightarrow 12 + 8m > 0 \Rightarrow m > -\frac{3}{2} \]

• Решения:

\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{D}}{4} \]

• В области \( x < -2 \):

\[ x + 2 = m \Rightarrow x = m - 2 \]

Чтобы график и прямая имели ровно две общие точки, нужно рассмотреть случаи пересечений:

1. если \( m > -1 \), парабола дает 2 решения \( x \) на \( x \geq -2 \), а прямая при \( x = m-2 \):

• Для ровно двух точек общий случай — когда:

  • либо прямая не пересекается с параболой на \( x < -2 \),
  • либо она пересекается с ней в точке, которая не совпадает с точками параболы.

2. проверим возможные значения \( m \), чтобы было ровно 2 пересечения.

Общий результат:

• Пересечение с параболой — в двух точках (при \( D > 0 \)).
• Пересечение с прямой — в одной точке \( x = m - 2 \).

Чтобы было ровно две точки, необходимо, чтобы:

• прямую пересекала параболу ровно в одной точке (при \( D=0 \)), или
• иначе, чтобы прямая пересекала параболу в двух точках и при этом не пересекалась на другом участке графика.

Шаг 6. Итог

Рассмотрим, при каких \( m \):

• \( D = 12 + 8m \):

\[ D = 0 \Rightarrow 12 + 8m = 0 \Rightarrow m = -\frac{3}{2} \]

• При \( m = -\frac{3}{2} \), парабола и линия касаются, и затем:

  • если \( m > -\frac{3}{2} \), \( D > 0 \): 2 решения — две точки на графике параболы.
  • если \( m < -\frac{3}{2} \), \( D < 0 \): решений нет.

• Условие равенства \( y = m \) с прямой \( y = x+2 \):

\[ x = m - 2 \]

• Для ровно двух точек необходимо, чтобы \( m \neq -\frac{3}{2} \), так как при этом касание и только одно решение.

Ответ:
\[ \boxed{ \text{Значения } m: \quad m \neq -\frac{3}{2} } \]

Прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции при всех \( m \), кроме \( m = -\frac{3}{2} \).