В таблице дано распределение вероятностей случайной величины. значение -2;1;3;5;10 вероятность: 0,1;0,3;0,1;0,4;0,1.
Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины.
M (X) =
D (X) =
Давайте решим задачу поэтапно, чтобы найти математическое ожидание \( M(X) \) и дисперсию \( D(X) \) случайной величины \(X\).
---
### Дано:
Значения \(X\): \(-2; 1; 3; 5; 10\)
Вероятности \(P(X)\): \(0,1; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1\)
Проверим, что сумма вероятностей равна 1:
\[ 0,1 + 0,3 + 0,1 + 0,4 + 0,1 = 1, \]
так что данные корректны.
---
## Шаг 1: Математическое ожидание \( M(X) \)
Математическое ожидание рассчитывается по формуле:
\[
M(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i),
\]
где \(x_i\) — значения случайной величины, а \(P(x_i)\) — соответствующие вероятности.
Подставим значения:
\[
M(X) = (-2) \times 0,1 + 1 \times 0,3 + 3 \times 0,1 + 5 \times 0,4 + 10 \times 0,1.
\]
Вычислим по шагам:
1. \(-2 \times 0,1 = -0,2\),
2. \(1 \times 0,3 = 0,3\),
3. \(3 \times 0,1 = 0,3\),
4. \(5 \times 0,4 = 2,0\),
5. \(10 \times 0,1 = 1,0\).
Теперь сложим полученные значения:
\[
M(X) = -0,2 + 0,3 + 0,3 + 2,0 + 1,0 = ( -0,2 + 0,3 ) + 0,3 + 2,0 + 1,0.
\]
Посчитаем сумму внутри скобок:
\[
-0,2 + 0,3 = 0,1,
\]
дальше:
\[
0,1 + 0,3 = 0,4,
\]
затем:
\[
0,4 + 2,0 = 2,4,
\]
и, наконец,
\[
2,4 + 1,0 = 3,4.
\]
**Итог:**
\[
\boxed{
M(X) = 3,4
}
\]
---
## Шаг 2: Дисперсия \( D(X) \)
Формула дисперсии:
\[
D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2,
\]
где
\[
M(X^2) = \sum_{i} x_i^2 \cdot P(x_i).
\]
### Найдём \( M(X^2) \):
Вычислим \( x_i^2 \) для каждого значения и умножим на его вероятность:
1. \((-2)^2 = 4,\) \( 4 \times 0,1 = 0,4 \),
2. \(1^2 = 1,\) \( 1 \times 0,3 = 0,3 \),
3. \(3^2 = 9,\) \( 9 \times 0,1 = 0,9 \),
4. \(5^2 = 25,\) \( 25 \times 0,4 = 10,0 \),
5. \(10^2 = 100,\) \( 100 \times 0,1 = 10,0 \).
Теперь найдём сумму:
\[
M(X^2) = 0,4 + 0,3 + 0,9 + 10,0 + 10,0 = 0,4 + 0,3 + 0,9 + 10 + 10.
\]
Посчитаем:
\[
0,4 + 0,3 = 0,7,
\]
\[
0,7 + 0,9 = 1,6,
\]
\[
1,6 + 10 = 11,6,
\]
\[
11,6 + 10 = 21,6.
\]
**Итак:**
\[
M(X^2) = 21,6.
\]
### Теперь найдём дисперсию \( D(X) \):
\[
D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 21,6 - (3,4)^2.
\]
Посчитаем квадрат среднего:
\[
(3,4)^2 = 11,56.
\]
Следовательно:
\[
D(X) = 21,6 - 11,56 = 10,04.
\]
---
## Итог:
\[
\boxed{
\textbf{Математическое ожидание } \, M(X) = 3,4,
}
\]
\[
\boxed{
\textbf{Дисперсия } \, D(X) = 10,04.
}
\]
Если есть вопросы или нужен более подробный разбор — обращайтесь!
