В таблице дано распределение вероятностей случайной величины. значение -2;1;3;5;10 вероятность: 0,1;0,3;0,1;0,4;0,1. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной…
В таблице дано распределение вероятностей случайной величины. значение -2;1;3;5;10 вероятность: 0,1;0,3;0,1;0,4;0,1. Найдите математическое ожидание и дисперсию случайной величины. M (X) = D (X) =
Давайте решим задачу поэтапно, чтобы найти математическое ожидание \( M(X) \) и дисперсию \( D(X) \) случайной величины \(X\).
Дано:
Значения \(X\): \(-2; 1; 3; 5; 10\)
Вероятности \(P(X)\): \(0,1; 0,3; 0,1; 0,4; 0,1\)
Проверим, что сумма вероятностей равна 1:
\[ 0,1 + 0,3 + 0,1 + 0,4 + 0,1 = 1, \]
так что данные корректны.
Шаг 1: Математическое ожидание \( M(X) \)
Математическое ожидание рассчитывается по формуле:
\[ M(X) = \sum_{i} x_i \cdot P(x_i), \] где \(x_i\) — значения случайной величины, а \(P(x_i)\) — соответствующие вероятности.
Подставим значения:
\[ M(X) = (-2) \times 0,1 + 1 \times 0,3 + 3 \times 0,1 + 5 \times 0,4 + 10 \times 0,1. \]
Вычислим по шагам:
- \(-2 \times 0,1 = -0,2\),
- \(1 \times 0,3 = 0,3\),
- \(3 \times 0,1 = 0,3\),
- \(5 \times 0,4 = 2,0\),
- \(10 \times 0,1 = 1,0\).
Теперь сложим полученные значения:
\[ M(X) = -0,2 + 0,3 + 0,3 + 2,0 + 1,0 = ( -0,2 + 0,3 ) + 0,3 + 2,0 + 1,0. \]
Посчитаем сумму внутри скобок:
\[ -0,2 + 0,3 = 0,1, \]
дальше:
\[ 0,1 + 0,3 = 0,4, \]
затем:
\[ 0,4 + 2,0 = 2,4, \]
и, наконец,
\[ 2,4 + 1,0 = 3,4. \]
Итог:
\[ \boxed{ M(X) = 3,4 } \]
Шаг 2: Дисперсия \( D(X) \)
Формула дисперсии:
\[ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2, \]
где
\[ M(X^2) = \sum_{i} x_i^2 \cdot P(x_i). \]
Найдём \( M(X^2) \):
Вычислим \( x_i^2 \) для каждого значения и умножим на его вероятность:
- \((-2)^2 = 4,\) \( 4 \times 0,1 = 0,4 \),
- \(1^2 = 1,\) \( 1 \times 0,3 = 0,3 \),
- \(3^2 = 9,\) \( 9 \times 0,1 = 0,9 \),
- \(5^2 = 25,\) \( 25 \times 0,4 = 10,0 \),
- \(10^2 = 100,\) \( 100 \times 0,1 = 10,0 \).
Теперь найдём сумму:
\[ M(X^2) = 0,4 + 0,3 + 0,9 + 10,0 + 10,0 = 0,4 + 0,3 + 0,9 + 10 + 10. \]
Посчитаем:
\[ 0,4 + 0,3 = 0,7, \] \[ 0,7 + 0,9 = 1,6, \] \[ 1,6 + 10 = 11,6, \] \[ 11,6 + 10 = 21,6. \]
Итак:
\[ M(X^2) = 21,6. \]
Теперь найдём дисперсию \( D(X) \):
\[ D(X) = M(X^2) - [M(X)]^2 = 21,6 - (3,4)^2. \]
Посчитаем квадрат среднего:
\[ (3,4)^2 = 11,56. \]
Следовательно:
\[ D(X) = 21,6 - 11,56 = 10,04. \]
Итог:
\[ \boxed{ \textbf{Математическое ожидание } \, M(X) = 3,4, } \] \[ \boxed{ \textbf{Дисперсия } \, D(X) = 10,04. } \]
Если есть вопросы или нужен более подробный разбор — обращайтесь!
