В таблице дано распределение вероятностей случайной величины. Значение: –1; 2; 5; 10; 20 Вероятность: 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,3 ; 0,1 Найти математическое ожидание и дисперсию…
В таблице дано распределение вероятностей случайной величины. Значение: –1; 2; 5; 10; 20 Вероятность: 0,1 ; 0,2 ; 0,3 ; 0,3 ; 0,1 Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины. M (X) = ? D (X) =
Давайте решим задачу пошагово.
Дана таблица распределения вероятностей случайной величины \(X\):
| Значение \(x_i\) | \(-1\) | \(2\) | \(5\) | \(10\) | \(20\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Вероятность \(P_i\) | 0,1 | 0,2 | 0,3 | 0,3 | 0,1 |
Шаг 1. Найдём математическое ожидание \(M(X)\).
Математическое ожидание — это сумма произведений каждого значения на его вероятность:
\[ M(X) = \sum_{i} x_i \cdot P_i \]
Подставим значения:
\[ M(X) = (-1) \times 0,1 + 2 \times 0,2 + 5 \times 0,3 + 10 \times 0,3 + 20 \times 0,1 \]
Вычислим каждое слагаемое:
- \(-1 \times 0,1 = -0,1\)
- \(2 \times 0,2 = 0,4\)
- \(5 \times 0,3 = 1,5\)
- \(10 \times 0,3 = 3\)
- \(20 \times 0,1 = 2\)
Теперь сложим все:
\[ M(X) = -0,1 + 0,4 + 1,5 + 3 + 2 = ( -0,1 + 0,4 ) + 1,5 + 3 + 2 = 0,3 + 1,5 + 3 + 2 = 0,3 + 1,5 = 1,8; \quad 1,8 + 3 = 4,8; \quad 4,8 + 2 = 6,8 \]
Итак,
\[
\boxed{ M(X) = 6,8 }
\]
Шаг 2. Найдём дисперсию \(D(X)\).
Дисперсия — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
\[ D(X) = E[(X - M(X))^2] = \sum_{i} P_i (x_i - M(X))^2 \]
Либо можно так:
\[
D(X) = E[X^2] - (E[X])^2
\]
Поэтому сначала найдём \(E[X^2]\):
\[ E[X^2] = \sum_{i} x_i^2 \cdot P_i \]
Посчитаем каждое слагаемое:
- \((-1)^2 \times 0,1 = 1 \times 0,1 = 0,1 \)
- \(2^2 \times 0,2 = 4 \times 0,2 = 0,8 \)
- \(5^2 \times 0,3 = 25 \times 0,3 = 7,5 \)
- \(10^2 \times 0,3 = 100 \times 0,3 = 30 \)
- \(20^2 \times 0,1 = 400 \times 0,1 = 40 \)
Теперь сложим:
\[ E[X^2] = 0,1 + 0,8 + 7,5 + 30 + 40 = (0,1 + 0,8) + 7,5 + 30 + 40 = 0,9 + 7,5 + 30 + 40 = 8,4 + 30 + 40 = 78,4 \]
Теперь найдём дисперсию:
\[ D(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 78,4 - (6,8)^2 \]
Вычислим \((6,8)^2\):
\[ 6,8^2 = 6,8 \times 6,8 \]
Это можно посчитать так:
\[ 6,8 \times 6,8 = (6 + 0,8) \times (6 + 0,8) = 6 \times 6 + 6 \times 0,8 + 0,8 \times 6 + 0,8 \times 0,8 \]
\[ = 36 + 4,8 + 4,8 + 0,64 = 36 + 4,8 + 4,8 + 0,64 \]
Сложим:
\[ 36 + 4,8 = 40,8 \\ 40,8 + 4,8 = 45,6 \\ 45,6 + 0,64 = 46,24 \]
Итак,
\[ (6,8)^2 = 46,24 \]
Теперь найдём дисперсию:
\[ D(X) = 78,4 - 46,24 = 32,16 \]
Итоговые ответы:
\[ \boxed{ \begin{aligned} M(X) &= 6,8 \\ D(X) &= 32,16 \end{aligned} } \]
Если есть вопросы или нужно подробнее разобрать какой-то шаг — спрашивайте!
