Давайте решим задачу пошагово.
Дана таблица распределения вероятностей случайной величины (X):
| Значение (x_i) |
(-1) |
(2) |
(5) |
(10) |
(20) |
| Вероятность (P_i) |
0,1 |
0,2 |
0,3 |
0,3 |
0,1 |
Шаг 1. Найдём математическое ожидание (M(X)).
Математическое ожидание — это сумма произведений каждого значения на его вероятность:
[
M(X) = \sum_{i} x_i \cdot P_i
]
Подставим значения:
[
M(X) = (-1) \times 0,1 + 2 \times 0,2 + 5 \times 0,3 + 10 \times 0,3 + 20 \times 0,1
]
Вычислим каждое слагаемое:
- (-1 \times 0,1 = -0,1)
- (2 \times 0,2 = 0,4)
- (5 \times 0,3 = 1,5)
- (10 \times 0,3 = 3)
- (20 \times 0,1 = 2)
Теперь сложим все:
[
M(X) = -0,1 + 0,4 + 1,5 + 3 + 2 = ( -0,1 + 0,4 ) + 1,5 + 3 + 2 = 0,3 + 1,5 + 3 + 2 = 0,3 + 1,5 = 1,8; \quad 1,8 + 3 = 4,8; \quad 4,8 + 2 = 6,8
]
Итак,
[
\boxed{ M(X) = 6,8 }
]
Шаг 2. Найдём дисперсию (D(X)).
Дисперсия — это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания:
[
D(X) = E[(X - M(X))^2] = \sum_{i} P_i (x_i - M(X))^2
]
Либо можно так:
[
D(X) = E[X^2] - (E[X])^2
]
Поэтому сначала найдём (E[X^2]):
[
E[X^2] = \sum_{i} x_i^2 \cdot P_i
]
Посчитаем каждое слагаемое:
- ((-1)^2 \times 0,1 = 1 \times 0,1 = 0,1 )
- (2^2 \times 0,2 = 4 \times 0,2 = 0,8 )
- (5^2 \times 0,3 = 25 \times 0,3 = 7,5 )
- (10^2 \times 0,3 = 100 \times 0,3 = 30 )
- (20^2 \times 0,1 = 400 \times 0,1 = 40 )
Теперь сложим:
[
E[X^2] = 0,1 + 0,8 + 7,5 + 30 + 40 = (0,1 + 0,8) + 7,5 + 30 + 40 = 0,9 + 7,5 + 30 + 40 = 8,4 + 30 + 40 = 78,4
]
Теперь найдём дисперсию:
[
D(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 78,4 - (6,8)^2
]
Вычислим ((6,8)^2):
[
6,8^2 = 6,8 \times 6,8
]
Это можно посчитать так:
[
6,8 \times 6,8 = (6 + 0,8) \times (6 + 0,8) = 6 \times 6 + 6 \times 0,8 + 0,8 \times 6 + 0,8 \times 0,8
]
[
= 36 + 4,8 + 4,8 + 0,64 = 36 + 4,8 + 4,8 + 0,64
]
Сложим:
[
36 + 4,8 = 40,8 \
40,8 + 4,8 = 45,6 \
45,6 + 0,64 = 46,24
]
Итак,
[
(6,8)^2 = 46,24
]
Теперь найдём дисперсию:
[
D(X) = 78,4 - 46,24 = 32,16
]
Итоговые ответы:
[
\boxed{
\begin{aligned}
M(X) &= 6,8 \
D(X) &= 32,16
\end{aligned}
}
]
Если есть вопросы или нужно подробнее разобрать какой-то шаг — спрашивайте!
