|7x - 2| + |5x + 2| = 6
Конечно! Рассмотрим уравнение с модулем:
\[ |7x - 2| + |5x + 2| = 6 \]
Цель — понять решение этого уравнения. Для этого нужно разобраться с тем, когда выражения внутри модулей меняют знак, и разбить уравнение на части.
Шаг 1. Определим точки изменения знака модулей
Модуль выражения \(|A|\) меняет знак в точках, где \(A = 0\).
Так что найдем точки для каждого выражения:
- \(7x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{7}\)
- \(5x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{5}\)
Эти точки разбивают числовую ось на три интервала:
- \(\left(-\infty, -\frac{2}{5}\right)\)
- \(\left(-\frac{2}{5}, \frac{2}{7}\right)\)
- \(\left(\frac{2}{7}, +\infty\right)\)
Шаг 2. Рассмотрим каждый интервал отдельно и выпишем выражения без модулей
Интервал 1: \(x < -\frac{2}{5}\)
- \(7x - 2 < 0\) (так как для этого \(x\) меньше \(-\frac{2}{5}\))
- \(5x + 2 < 0\) (так как для этого \(x\) меньше \(-\frac{2}{5}\) или \(-\frac{2}{5}\) — граница)
Значит, внутри этого интервала:
\[ |7x - 2| = -(7x - 2) = -7x + 2 \] \[ |5x + 2| = -(5x + 2) = -5x - 2 \]
Подставим в уравнение:
\[ (-7x + 2) + (-5x - 2) = 6 \] \[ -7x + 2 - 5x - 2 = 6 \] \[ -12x = 6 \] \[ x = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2} \]
Проверим, попадает ли решение в наш интервал \(x < -\frac{2}{5}\):
\[ -\frac{1}{2} = -0.5 \] \[ -\frac{2}{5} = -0.4 \]
Так как \(-0.5 < -0.4\), то решение подходит.
Интервал 2: \(-\frac{2}{5} < x < \frac{2}{7}\)
\(7x - 2\): при \(x > -\frac{2}{5}\), \(7x - 2\) может быть чуть больше или меньше 0.
Проверим точку \(x = 0\): \(7*0 - 2 = -2 < 0\), значит в этом интервал \(7x - 2 < 0\).\(5x + 2\):
В точке \(x=0\): \(5*0 + 2= 2 > 0\).
Значит внутри интервала:
\(7x - 2 < 0\),
\(5x + 2 > 0\).Тогда выражения:
\[ |7x - 2| = -(7x - 2) = -7x + 2 \] \[ |5x + 2| = 5x + 2 \]
Подставим:
\[ -7x + 2 + 5x + 2 = 6 \] \[ -7x + 5x + 4 = 6 \] \[ -2x = 2 \] \[ x = -1 \]
Проверим, входит ли \(x = -1\) в интервал \(\left(-\frac{2}{5}, \frac{2}{7}\right)\):
\[ -\frac{2}{5} = -0.4,\quad \frac{2}{7} \approx 0.2857 \]
Итак, \(-1 < -0.4\), значит это подходит — решение есть.
Интервал 3: \(x > \frac{2}{7}\)
- \(7x - 2 > 0\)
- \(5x + 2 > 0\)
Тогда модуль:
\[ |7x - 2| = 7x - 2 \] \[ |5x + 2| = 5x + 2 \]
Подставим:
\[ 7x - 2 + 5x + 2 = 6 \] \[ 12x = 6 \] \[ x = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \]
Проверим, входит ли \(x= \frac{1}{2} \approx 0.5\) в интервал \(\left(\frac{2}{7} \approx 0.2857, +\infty \right)\):
Да, \(0.5 > 0.2857\), подходящее решение.
Итоговые решения:
\[ x = -\frac{1}{2}, \quad x = -1, \quad x = \frac{1}{2} \]
Ответ:
\[
\boxed{
x = -1,\quad x = -\frac{1}{2}, \quad x = \frac{1}{2}
}
\]
Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение — скажи!
