|7x - 2| + |5x + 2| = 6

Конечно! Рассмотрим уравнение с модулем: \[ |7x - 2| + |5x + 2| = 6 \] Цель — понять решение этого уравнения. Для этого нужно разобраться с тем, когда выражения внутри модулей меняют знак, и разбить уравнение на части. --- ### Шаг 1. Определим точки изменения знака модулей Модуль выражения \(|A|\) меняет знак в точках, где \(A = 0\). Так что найдем точки для каждого выражения: 1. \(7x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{7}\) 2. \(5x + 2 = 0 \Rightarrow x = -\frac{2}{5}\) Эти точки разбивают числовую ось на три интервала: - \(\left(-\infty, -\frac{2}{5}\right)\) - \(\left(-\frac{2}{5}, \frac{2}{7}\right)\) - \(\left(\frac{2}{7}, +\infty\right)\) --- ### Шаг 2. Рассмотрим каждый интервал отдельно и выпишем выражения без модулей **Интервал 1:** \(x < -\frac{2}{5}\) - \(7x - 2 < 0\) (так как для этого \(x\) меньше \(-\frac{2}{5}\)) - \(5x + 2 < 0\) (так как для этого \(x\) меньше \(-\frac{2}{5}\) или \(-\frac{2}{5}\) — граница) Значит, внутри этого интервала: \[ |7x - 2| = -(7x - 2) = -7x + 2 \] \[ |5x + 2| = -(5x + 2) = -5x - 2 \] Подставим в уравнение: \[ (-7x + 2) + (-5x - 2) = 6 \] \[ -7x + 2 - 5x - 2 = 6 \] \[ -12x = 6 \] \[ x = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2} \] Проверим, попадает ли решение в наш интервал \(x < -\frac{2}{5}\): \[ -\frac{1}{2} = -0.5 \] \[ -\frac{2}{5} = -0.4 \] Так как \(-0.5 < -0.4\), то решение подходит. --- **Интервал 2:** \(-\frac{2}{5} < x < \frac{2}{7}\) - \(7x - 2\): при \(x > -\frac{2}{5}\), \(7x - 2\) может быть чуть больше или меньше 0. Проверим точку \(x = 0\): \(7*0 - 2 = -2 < 0\), значит в этом интервал \(7x - 2 < 0\). - \(5x + 2\): В точке \(x=0\): \(5*0 + 2= 2 > 0\). Значит внутри интервала: \(7x - 2 < 0\), \(5x + 2 > 0\). - Тогда выражения: \[ |7x - 2| = -(7x - 2) = -7x + 2 \] \[ |5x + 2| = 5x + 2 \] Подставим: \[ -7x + 2 + 5x + 2 = 6 \] \[ -7x + 5x + 4 = 6 \] \[ -2x = 2 \] \[ x = -1 \] Проверим, входит ли \(x = -1\) в интервал \(\left(-\frac{2}{5}, \frac{2}{7}\right)\): \[ -\frac{2}{5} = -0.4,\quad \frac{2}{7} \approx 0.2857 \] Итак, \(-1 < -0.4\), значит это подходит — решение есть. --- **Интервал 3:** \(x > \frac{2}{7}\) - \(7x - 2 > 0\) - \(5x + 2 > 0\) Тогда модуль: \[ |7x - 2| = 7x - 2 \] \[ |5x + 2| = 5x + 2 \] Подставим: \[ 7x - 2 + 5x + 2 = 6 \] \[ 12x = 6 \] \[ x = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \] Проверим, входит ли \(x= \frac{1}{2} \approx 0.5\) в интервал \(\left(\frac{2}{7} \approx 0.2857, +\infty \right)\): Да, \(0.5 > 0.2857\), подходящее решение. --- ### Итоговые решения: \[ x = -\frac{1}{2}, \quad x = -1, \quad x = \frac{1}{2} \] **Ответ:** \[ \boxed{ x = -1,\quad x = -\frac{1}{2}, \quad x = \frac{1}{2} } \] --- Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение — скажи!