Дано:
- Большая полуось спутника Титана ( a = 1222 \times 10^3 ) км
- Период обращения спутника ( T = 16 ) дней
Нам нужно найти отношение массы Сатурна к массе Земли.
Шаг 1: Переведем период ( T ) в секунды
[
T = 16 \times 24 \times 3600 = 16 \times 86 400 = 1 382 400 \text{ с}
]
Шаг 2: Используем формулу для масс через третий закон Кеплера
[
T^2 = \frac{4 \pi^2 a^3}{G M}
]
откуда:
[
M = \frac{4 \pi^2 a^3}{G T^2}
]
Масса Сатурна ( M_{Sat} ) выражается этой формулой.
Шаг 3: Расчет массы Сатурна
Константы:
- ( G \approx 6.674 \times 10^{-11} , \text{м}^3/(\кг \cdot \text{с}^2) )
- ( a = 1 222 000 \text{ км} = 1.222 \times 10^9 \text{ м} )
Подставляем:
[
M_{Sat} = \frac{4 \pi^2 (1.222 \times 10^9)^3}{6.674 \times 10^{-11} \times (1.382 \times 10^6)^2}
]
Рассчитаем числитель:
[
(1.222 \times 10^9)^3 = 1.222^3 \times 10^{27} \approx 1.828 \times 10^{27}
]
Числитель:
[
4 \pi^2 \times 1.828 \times 10^{27} \approx (4 \times 9.8696) \times 1.828 \times 10^{27} \approx 39.478 \times 1.828 \times 10^{27} \approx 72.1 \times 10^{27}
]
Деном:
[
6.674 \times 10^{-11} \times (1.382 \times 10^{6})^2 = 6.674 \times 10^{-11} \times 1.909 \times 10^{12} = (6.674 \times 1.909) \times 10^{1} \approx 12.75 \times 10^{1} = 127.5
]
Теперь рассчитываем массу:
[
M_{Sat} \approx \frac{72.1 \times 10^{27}}{127.5} \approx 0.565 \times 10^{27} = 5.65 \times 10^{26} \text{ кг}
]
Шаг 4: Масса Земли
Масса Земли
[
M_{Earth} \approx 5.972 \times 10^{24} \text{ кг}
]
Шаг 5: Отношение
[
\frac{M_{Sat}}{M_{Earth}} \approx \frac{5.65 \times 10^{26}}{5.972 \times 10^{24}} \approx \frac{5.65}{0.05972} \times 10^{2} \approx 94.6
]
Ответ:
[
\boxed{94.6}
]
Сатурн тяжелее Земли примерно в 94.6 раз.
