Большая полуось спутника Сатурна Титана равна 1 222 тыс. км., а период его обращения 16 дней. Во сколько раз Сатурн тяжелее Земли? Ответ дать с точностью до десятичных.

Дано:

• Большая полуось спутника Титана \( a = 1222 \times 10^3 \) км
• Период обращения спутника \( T = 16 \) дней

Нам нужно найти отношение массы Сатурна к массе Земли.

Шаг 1: Переведем период \( T \) в секунды

\[ T = 16 \times 24 \times 3600 = 16 \times 86 400 = 1 382 400 \text{ с} \]

Шаг 2: Используем формулу для масс через третий закон Кеплера

\[ T^2 = \frac{4 \pi^2 a^3}{G M} \]

откуда:

\[ M = \frac{4 \pi^2 a^3}{G T^2} \]

Масса Сатурна \( M_{Sat} \) выражается этой формулой.

Шаг 3: Расчет массы Сатурна

Константы:

• \( G \approx 6.674 \times 10^{-11} \, \text{м}^3/(\кг \cdot \text{с}^2) \)
• \( a = 1 222 000 \text{ км} = 1.222 \times 10^9 \text{ м} \)

Подставляем:

\[ M_{Sat} = \frac{4 \pi^2 (1.222 \times 10^9)^3}{6.674 \times 10^{-11} \times (1.382 \times 10^6)^2} \]

Рассчитаем числитель:

\[ (1.222 \times 10^9)^3 = 1.222^3 \times 10^{27} \approx 1.828 \times 10^{27} \]

Числитель:

\[ 4 \pi^2 \times 1.828 \times 10^{27} \approx (4 \times 9.8696) \times 1.828 \times 10^{27} \approx 39.478 \times 1.828 \times 10^{27} \approx 72.1 \times 10^{27} \]

Деном:

\[ 6.674 \times 10^{-11} \times (1.382 \times 10^{6})^2 = 6.674 \times 10^{-11} \times 1.909 \times 10^{12} = (6.674 \times 1.909) \times 10^{1} \approx 12.75 \times 10^{1} = 127.5 \]

Теперь рассчитываем массу:

\[ M_{Sat} \approx \frac{72.1 \times 10^{27}}{127.5} \approx 0.565 \times 10^{27} = 5.65 \times 10^{26} \text{ кг} \]

Шаг 4: Масса Земли

Масса Земли

\[ M_{Earth} \approx 5.972 \times 10^{24} \text{ кг} \]

Шаг 5: Отношение

\[ \frac{M_{Sat}}{M_{Earth}} \approx \frac{5.65 \times 10^{26}}{5.972 \times 10^{24}} \approx \frac{5.65}{0.05972} \times 10^{2} \approx 94.6 \]

Ответ:

\[ \boxed{94.6} \]

Сатурн тяжелее Земли примерно в 94.6 раз.