При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки
Давайте разберём задачу поэтапно.
Задача:
При каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком функции ровно две общие точки.
Дано: Функция задана кусочно-линейной: \[ y = \begin{cases} 3x - 3, & \text{если } x < 2, \\ -3x + 8.5, & \text{если } 2 \leq x \leq 3, \\ 3.5x - 11, & \text{если } x > 3. \end{cases} \]
Что нужно найти: Значения \( m \), такие, что прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках.
Шаг 1. Построение куска графика
- Первая часть: \( y = 3x - 3 \), для \( x < 2 \).
- Вторая часть: \( y = -3x + 8.5 \), для \( 2 \leq x \leq 3 \).
- Третья часть: \( y = 3.5x - 11 \), для \( x > 3 \).
Шаг 2. Определение значений функции и графика на промежутках
Рассмотрим каждый участок и найдём диапазон значений \( y \).
Участок 1: \( y = 3x - 3 \), при \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \), и при \( x \to 2^- \), \( y = 3*2 - 3 = 6 - 3 = 3 \).
Следовательно, значения по этому участку: \( y < 3 \), приближаясь к 3, но не достигая его (так как \( x < 2 \)).
На границе: при \( x \to 2^- \), \( y \to 3 \).
Участок 2: \( y = -3x + 8.5 \), при \( x = 2 \), \( y = -3*2 + 8.5 = -6 + 8.5 = 2.5 \).
При \( x = 3 \), \( y = -3*3 + 8.5 = -9 + 8.5 = -0.5 \).
Значения на этом участке: \( y \in [ -0.5, 2.5 ] \).
Важно: Значение \( y \) уменьшается при увеличении \( x \) на этом участке.
Участок 3: \( y = 3.5x - 11 \), при \( x=3 \), \( y=3.5*3 - 11 = 10.5 -11 = -0.5 \).
При \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \).
Значения по третьему участку: \( y \geq -0.5 \).
Шаг 3. Построение характеристик уровня \( y = m \)
Теперь определим, при каких \( m \) прямая \( y = m \) пересекая график, она образует ровно две точки.
Рассмотрим каждую часть отдельно.
Шаг 4. Анализ пересечений
1. Пересечения с первым участком \((x < 2)\):
\( y = 3x - 3 \Rightarrow x = \frac{y+3}{3} \).
- Для пересечения с данной линией, при \( y = m \), нужно проверить, что \( x = \frac{m+3}{3} < 2 \), то есть:
\[ \frac{m + 3}{3} < 2 \Rightarrow m + 3 < 6 \Rightarrow m < 3. \]
- Также, чтобы точка действительно лежала на этом участке, необходимо, что \( x < 2 \) и на графике на этом участке.
Это условие для \( m < 3 \).
2. Пересечения со вторым участком \((2 \leq x \leq 3)\):
\( y = -3x + 8.5 \Rightarrow x = \frac{8.5 - y}{3} \).
- Для \( y = m \), диапазон возможных \( x \) на этом участке — от 2 до 3:
\[ 2 \leq \frac{8.5 - m}{3} \leq 3 \]
Рассмотрим оба неравенства:
- \( \frac{8.5 - m}{3} \geq 2 \Rightarrow 8.5 - m \geq 6 \Rightarrow m \leq 8.5 - 6 = 2.5 \).
- \( \frac{8.5 - m}{3} \leq 3 \Rightarrow 8.5 - m \leq 9 \Rightarrow m \geq -0.5 \).
Итак, для точки на этом участке, при \( y = m \):
\[ -0.5 \leq m \leq 2.5. \]
3. Пересечения с третьим участком \((x > 3)\):
\( y = 3.5x - 11 \Rightarrow x = \frac{y+11}{3.5} \).
- Для \( x > 3 \):
\[ \frac{y+11}{3.5} > 3 \Rightarrow y + 11 > 10.5 \Rightarrow y > -0.5. \]
- Также, при \( y = m \), пересечения произойдут при \( m > -0.5 \).
Шаг 5. Итоговые условия для количества пересечений
Теперь собираем информацию:
Для \( m < -0.5 \):
перепосний не будет ни на втором, ни на третьем участке (так как они требуют \( m \geq -0.5 \) ).
только на первом участке \( y=3x-3 \):
пересечение: \( x = \frac{m+3}{3} \).
при \( m< -3 \), \( x< - \frac{m+3}{3} \), что может быть меньше или больше 2?
при \( m <-3 \), \( m+3<0 \Rightarrow x<0 \).
В целом, для \( m< -0.5 \), пересечений только в первом участке при таких \( m \):
Только одно пересечение.
Для \( -0.5 < m < 2.5 \):
пересекает и второй, и третий участки, так как:
- на втором участке: \( m \in [-0.5, 2.5] \),
- на третьем: \( m > -0.5 \).
В результате — есть вероятность, что график пересекается в 2 точках — по одному на втором и третьем участках.
Для \( 2.5 < m < 3 \):
Пересекается только первый и третий участок:
первый участок: при \( m<3 \), возможен пересказ.
третий тоже, поскольку \( m > -0.5 \).
На втором участке — больше нет пересечений, так как \( m > 2.5 \).
При \( m = 3 \),
- Пересечение только с первым участком (на \( x = (3 +3)/3= 2 \)), граница — при \( x=2 \): стоит проверять.
ИТОГ:
- Только при \( m \in (-0.5, 2.5) \) — есть два пересечения (одно с вторым участком, другое с третьим).
- На границах, \( m = -0.5 \) или \( m= 2.5 \) — возможны особые случаи, где пересечений будет менее двух или более.
Ответ:
\[ \boxed{ m \in (-0.5, 2.5) } \]
Это интервал значений \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках.
