При каких значениях m прямая y=m имеет с графиком ровно две общие точки

Давайте разберём задачу поэтапно. **Задача:** При каких значениях \( m \) прямая \( y = m \) имеет с графиком функции ровно две общие точки. **Дано:** Функция задана кусочно-линейной: \[ y = \begin{cases} 3x - 3, & \text{если } x < 2, \\ -3x + 8.5, & \text{если } 2 \leq x \leq 3, \\ 3.5x - 11, & \text{если } x > 3. \end{cases} \] **Что нужно найти:** Значения \( m \), такие, что прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках. --- ### Шаг 1. Построение куска графика - Первая часть: \( y = 3x - 3 \), для \( x < 2 \). - Вторая часть: \( y = -3x + 8.5 \), для \( 2 \leq x \leq 3 \). - Третья часть: \( y = 3.5x - 11 \), для \( x > 3 \). --- ### Шаг 2. Определение значений функции и графика на промежутках Рассмотрим каждый участок и найдём диапазон значений \( y \). **Участок 1:** \( y = 3x - 3 \), при \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \), и при \( x \to 2^- \), \( y = 3*2 - 3 = 6 - 3 = 3 \). Следовательно, значения по этому участку: \( y < 3 \), приближаясь к 3, но не достигая его (так как \( x < 2 \)). На границе: при \( x \to 2^- \), \( y \to 3 \). --- **Участок 2:** \( y = -3x + 8.5 \), при \( x = 2 \), \( y = -3*2 + 8.5 = -6 + 8.5 = 2.5 \). При \( x = 3 \), \( y = -3*3 + 8.5 = -9 + 8.5 = -0.5 \). Значения на этом участке: \( y \in [ -0.5, 2.5 ] \). **Важно:** Значение \( y \) уменьшается при увеличении \( x \) на этом участке. --- **Участок 3:** \( y = 3.5x - 11 \), при \( x=3 \), \( y=3.5*3 - 11 = 10.5 -11 = -0.5 \). При \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \). Значения по третьему участку: \( y \geq -0.5 \). --- ### Шаг 3. Построение характеристик уровня \( y = m \) Теперь определим, при каких \( m \) прямая \( y = m \) пересекая график, она образует ровно две точки. Рассмотрим каждую часть отдельно. --- ### Шаг 4. Анализ пересечений **1. Пересечения с первым участком \((x < 2)\):** \( y = 3x - 3 \Rightarrow x = \frac{y+3}{3} \). - Для пересечения с данной линией, при \( y = m \), нужно проверить, что \( x = \frac{m+3}{3} < 2 \), то есть: \[ \frac{m + 3}{3} < 2 \Rightarrow m + 3 < 6 \Rightarrow m < 3. \] - Также, чтобы точка действительно лежала на этом участке, необходимо, что \( x < 2 \) и на графике на этом участке. Это условие для \( m < 3 \). **2. Пересечения со вторым участком \((2 \leq x \leq 3)\):** \( y = -3x + 8.5 \Rightarrow x = \frac{8.5 - y}{3} \). - Для \( y = m \), диапазон возможных \( x \) на этом участке — от 2 до 3: \[ 2 \leq \frac{8.5 - m}{3} \leq 3 \] Рассмотрим оба неравенства: - \( \frac{8.5 - m}{3} \geq 2 \Rightarrow 8.5 - m \geq 6 \Rightarrow m \leq 8.5 - 6 = 2.5 \). - \( \frac{8.5 - m}{3} \leq 3 \Rightarrow 8.5 - m \leq 9 \Rightarrow m \geq -0.5 \). Итак, для точки на этом участке, при \( y = m \): \[ -0.5 \leq m \leq 2.5. \] --- **3. Пересечения с третьим участком \((x > 3)\):** \( y = 3.5x - 11 \Rightarrow x = \frac{y+11}{3.5} \). - Для \( x > 3 \): \[ \frac{y+11}{3.5} > 3 \Rightarrow y + 11 > 10.5 \Rightarrow y > -0.5. \] - Также, при \( y = m \), пересечения произойдут при \( m > -0.5 \). --- ### Шаг 5. Итоговые условия для количества пересечений Теперь собираем информацию: - Для \( m < -0.5 \): - перепосний не будет ни на втором, ни на третьем участке (так как они требуют \( m \geq -0.5 \) ). - только на первом участке \( y=3x-3 \): - пересечение: \( x = \frac{m+3}{3} \). - при \( m< -3 \), \( x< - \frac{m+3}{3} \), что может быть меньше или больше 2? - при \( m <-3 \), \( m+3<0 \Rightarrow x<0 \). - В целом, для \( m< -0.5 \), пересечений только в первом участке при таких \( m \): - *Только одно пересечение.* - Для \( -0.5 < m < 2.5 \): - пересекает и второй, и третий участки, так как: - на втором участке: \( m \in [-0.5, 2.5] \), - на третьем: \( m > -0.5 \). - В результате — есть вероятность, что график пересекается в 2 точках — по одному на втором и третьем участках. - Для \( 2.5 < m < 3 \): - Пересекается только первый и третий участок: - первый участок: при \( m<3 \), возможен пересказ. - третий тоже, поскольку \( m > -0.5 \). - На втором участке — больше нет пересечений, так как \( m > 2.5 \). - При \( m = 3 \), - Пересечение только с первым участком (на \( x = (3 +3)/3= 2 \)), граница — при \( x=2 \): стоит проверять. --- ### **ИТОГ:** - **Только при \( m \in (-0.5, 2.5) \) —** есть два пересечения (одно с вторым участком, другое с третьим). - На границах, \( m = -0.5 \) или \( m= 2.5 \) — возможны особые случаи, где пересечений будет менее двух или более. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ m \in (-0.5, 2.5) } \] **Это интервал значений \( m \), при которых прямая \( y = m \) пересекает график функции ровно в двух точках.**