В треугольнике M N K MNK угол N N равен 9 0 ∘ 90 ∘ , sin K = 4 7 sinK= 7 4 , M K = 28 MK=28 . Найди M N MN .
Давайте подробно разберем задачу и найдем длину стороны MN в треугольнике MNK.
Дано:
- В треугольнике MNK угол N равен 90° (прямой угол).
- \( \sin K = \frac{4}{7} \).
- \( MK = 28 \) (длина стороны от вершины M до K).
- Нужно найти \( MN \).
Шаг 1. Построение схемы и обозначения
Обозначим стороны треугольника:
- \( MN \) — искомая длина
- \( MK = 28 \) — известная сторона
- \( NK \) — третья сторона, которую, возможно, придется найти
Углы:
- \( \angle N = 90° \)
- \( \angle K \) — угол, связанный со знанием синуса
Шаг 2. Используем свойства прямоугольного треугольника
Так как \( \angle N = 90° \), то:
- \( MN \) — гипотенуза или одна из катетов
- \( MK \) и \( NK \) — катеты или гипотенуза, в зависимости от положения сторон
Угол \( K \) — это один из острых углов. Пусть:
- \( \angle K \) — острый угол при вершине K
Обозначим:
- \( \sin K = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} \)
Шаг 3. Выясним, что такое \( \sin K \)
В треугольнике \( MNK \):
- \( \sin K = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \)
Но поскольку мы не знаем, какая сторона противолежит углу \( K \), определим стороны, связанные с этим углом.
Шаг 4. Связь углов и сторон
В прямоугольнике с гипотенузой \( MK \):
- \( \sin K = \frac{NK}{MN} \), потому что:
- \( NK \) — противолежащая сторона к углу \( K \)
- \( MN \) — гипотенуза для треугольника \( MNK \)
Итак: \[ \sin K = \frac{NK}{MN} = \frac{4}{7} \]
Значит: \[ NK = \frac{4}{7} \times MN \]
Шаг 5. Используем длину \( MK = 28 \)
Перепутал в предыдущем шаге, проверьте еще раз, какую сторону относится к \( MK \).
Поскольку \( \angle N = 90^\circ \), стороны \( MN \) и \( NK \) — катеты, а \( MK \) — гипотенуза (противолежащая гипотенуза). Тогда \( MK \) — гипотенуза.
В этом случае, согласно определению, в прямоугольном треугольнике: \[ \sin K = \frac{\text{противолежащий к \( K \) катет}}{\text{гипотенуза \( MK \)}} \]
По условию: \[ \sin K = \frac{4}{7} \] \[ \text{гипотенуза} = MK = 28 \] Следовательно: \[ \text{противолежащий катет} = NK = \sin K \times MK = \frac{4}{7} \times 28 \] \[ NK = 4 \times 4 = 16 \]
Шаг 6. Найдем остальные стороны
Теперь у нас есть \( NK = 16 \).
Для определения \( MN \), использую теорему Пифагора в треугольнике \( MNK \):
\[ MN^2 = NK^2 + MK^2 \]
Но мы заметили, что \( MK \) — гипотенуза, тогда: \[ MN^2 = MK^2 + NK^2 \]
Подставим значения: \[ MN^2 = 28^2 + 16^2 = 784 + 256 = 1040 \]
Следовательно: \[ MN = \sqrt{1040} \]
Можно упростить: \[ MN = \sqrt{1040} = \sqrt{16 \times 65} = 4 \sqrt{65} \]
Ответ:
\[ \boxed{ MN = 4 \sqrt{65} } \]
