В треугольнике  M N K MNK угол  N N равен  9 0 ∘ 90 ∘ ,  sin ⁡ K = 4 7 sinK= 7 4 ​ ,  M K = 28 MK=28. Найди  M N MN.

Давайте подробно разберем задачу и найдем длину стороны MN в треугольнике MNK. ### Дано: - В треугольнике MNK угол N равен 90° (прямой угол). - \( \sin K = \frac{4}{7} \). - \( MK = 28 \) (длина стороны от вершины M до K). - Нужно найти \( MN \). --- ### Шаг 1. Построение схемы и обозначения Обозначим стороны треугольника: - \( MN \) — искомая длина - \( MK = 28 \) — известная сторона - \( NK \) — третья сторона, которую, возможно, придется найти Углы: - \( \angle N = 90° \) - \( \angle K \) — угол, связанный со знанием синуса ### Шаг 2. Используем свойства прямоугольного треугольника Так как \( \angle N = 90° \), то: - \( MN \) — гипотенуза или одна из катетов - \( MK \) и \( NK \) — катеты или гипотенуза, в зависимости от положения сторон Угол \( K \) — это один из острых углов. Пусть: - \( \angle K \) — острый угол при вершине K Обозначим: - \( \sin K = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\text{гипотенуза}} \) ### Шаг 3. Выясним, что такое \( \sin K \) В треугольнике \( MNK \): - \( \sin K = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \) Но поскольку мы не знаем, какая сторона противолежит углу \( K \), определим стороны, связанные с этим углом. ### Шаг 4. Связь углов и сторон В прямоугольнике с гипотенузой \( MK \): - \( \sin K = \frac{NK}{MN} \), потому что: - \( NK \) — противолежащая сторона к углу \( K \) - \( MN \) — гипотенуза для треугольника \( MNK \) Итак: \[ \sin K = \frac{NK}{MN} = \frac{4}{7} \] Значит: \[ NK = \frac{4}{7} \times MN \] --- ### Шаг 5. Используем длину \( MK = 28 \) Перепутал в предыдущем шаге, проверьте еще раз, какую сторону относится к \( MK \). Поскольку \( \angle N = 90^\circ \), стороны \( MN \) и \( NK \) — катеты, а \( MK \) — гипотенуза (противолежащая гипотенуза). Тогда \( MK \) — гипотенуза. В этом случае, согласно определению, в прямоугольном треугольнике: \[ \sin K = \frac{\text{противолежащий к \( K \) катет}}{\text{гипотенуза \( MK \)}} \] По условию: \[ \sin K = \frac{4}{7} \] \[ \text{гипотенуза} = MK = 28 \] Следовательно: \[ \text{противолежащий катет} = NK = \sin K \times MK = \frac{4}{7} \times 28 \] \[ NK = 4 \times 4 = 16 \] ### Шаг 6. Найдем остальные стороны Теперь у нас есть \( NK = 16 \). Для определения \( MN \), использую теорему Пифагора в треугольнике \( MNK \): \[ MN^2 = NK^2 + MK^2 \] Но мы заметили, что \( MK \) — гипотенуза, тогда: \[ MN^2 = MK^2 + NK^2 \] Подставим значения: \[ MN^2 = 28^2 + 16^2 = 784 + 256 = 1040 \] Следовательно: \[ MN = \sqrt{1040} \] Можно упростить: \[ MN = \sqrt{1040} = \sqrt{16 \times 65} = 4 \sqrt{65} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ MN = 4 \sqrt{65} } \]