радиусы оснований усеченного конуса равны 1дм и 9дм, образующая 1м. найдите объём усеченного конуса
Давайте решим задачу по шагам. В условии дан усеченный конус с радиусами оснований и образующей:
- Радиус меньшего основания \( r_1 = 1 \) дм
- Радиус большего основания \( r_2 = 9 \) дм
- Образующая \( l = 1 \) м = 10 дм
Нам нужно найти объём усеченного конуса.
Шаг 1: Переводим все величины в одни единицы измерения
Радиусы в дм, образующая в дм, поэтому: \[ r_1 = 1\, \text{дм}, \quad r_2 = 9\, \text{дм}, \quad l = 10\, \text{дм} \]
Шаг 2: Найдём высоту усеченного конуса \( h \)
Усечённый конус возникает при срезе конуса параллельной основанием. В таком случае, отношение радиусов связано с отношением высот:
\[ r_1, r_2, h \]
Образующая \( l \) связана с высотой \( h \) и радиусами:
\[ l^2 = h^2 + (r_2 - r_1)^2 \]
Это теорема Пифагора для среза, образующего треугольника, где:
- гипотенуза — \( l \),
- один катет — высота \( h \),
- другой — разность радиусов \( r_2 - r_1 \).
Подставляем:
\[ 10^2 = h^2 + (9 - 1)^2 \\ 100 = h^2 + 8^2 \\ 100 = h^2 + 64 \\ h^2 = 36 \\ h = 6\, \text{дм} \]
Шаг 3: Выводим формулу объёма усеченного конуса
Объем усеченного конуса:
\[ V = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2) \]
Это стандартная формула для объёма усеченного конуса с радиусами оснований \( r_1 \) и \( r_2 \), и высотой \( h \).
Подставляем значения:
\[ V = \frac{\pi \times 6}{3} \left(1^2 + 9^2 + 1 \times 9\right) \\ V = 2\pi \left(1 + 81 + 9\right) \\ V = 2\pi \times 91 \\ V = 182\pi \]
Итог:
Объём усеченного конуса равен
\[ \boxed{ V = 182\pi \text{ дм}^3 } \]
или примерно:
\[ V \approx 182 \times 3.1416 \approx 571.55\, \text{дм}^3 \]
Если есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
