Давайте решим задачу по шагам. В условии дан усеченный конус с радиусами оснований и образующей:
- Радиус меньшего основания ( r_1 = 1 ) дм
- Радиус большего основания ( r_2 = 9 ) дм
- Образующая ( l = 1 ) м = 10 дм
Нам нужно найти объём усеченного конуса.
Шаг 1: Переводим все величины в одни единицы измерения
Радиусы в дм, образующая в дм, поэтому:
[
r_1 = 1, \text{дм}, \quad r_2 = 9, \text{дм}, \quad l = 10, \text{дм}
]
Шаг 2: Найдём высоту усеченного конуса ( h )
Усечённый конус возникает при срезе конуса параллельной основанием. В таком случае, отношение радиусов связано с отношением высот:
[
r_1, r_2, h
]
Образующая ( l ) связана с высотой ( h ) и радиусами:
[
l^2 = h^2 + (r_2 - r_1)^2
]
Это теорема Пифагора для среза, образующего треугольника, где:
- гипотенуза — ( l ),
- один катет — высота ( h ),
- другой — разность радиусов ( r_2 - r_1 ).
Подставляем:
[
10^2 = h^2 + (9 - 1)^2 \
100 = h^2 + 8^2 \
100 = h^2 + 64 \
h^2 = 36 \
h = 6, \text{дм}
]
Шаг 3: Выводим формулу объёма усеченного конуса
Объем усеченного конуса:
[
V = \frac{\pi h}{3} (r_1^2 + r_2^2 + r_1 r_2)
]
Это стандартная формула для объёма усеченного конуса с радиусами оснований ( r_1 ) и ( r_2 ), и высотой ( h ).
Подставляем значения:
[
V = \frac{\pi \times 6}{3} \left(1^2 + 9^2 + 1 \times 9\right) \
V = 2\pi \left(1 + 81 + 9\right) \
V = 2\pi \times 91 \
V = 182\pi
]
Итог:
Объём усеченного конуса равен
[
\boxed{
V = 182\pi \text{ дм}^3
}
]
или примерно:
[
V \approx 182 \times 3.1416 \approx 571.55, \text{дм}^3
]
Если есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
