х^2-8х+15>0

Давайте решим неравенство \( x^2 - 8x + 15 > 0 \) и я подробно объясню каждый шаг.

Шаг 1. Найдём корни уравнения \( x^2 - 8x + 15 = 0 \).
Это квадратичное уравнение. Его можно решить с помощью формулы корней или факторизации.

Поищем разложение на множители. Обратим внимание:
Произведение \( 15 \) и сумма \( -8 \).

Подбираем два числа, которые в сумме дают \( -8 \), а в произведении — \( 15 \).
Это числа: \( -3 \) и \( -5 \), потому что:
\( -3 + (-5) = -8 \) и \( -3 \times -5 = 15 \).

Значит, справедливо разложение:
\[ x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5) \]

Шаг 2. Найдём точки нуля.
Нулевые точки — это корни:
\[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \\ x - 5 = 0 \implies x = 5 \]

Эти точки делят числовую линию на три промежутка:
\[ (-\infty, 3), \quad (3, 5), \quad (5, +\infty) \]

Шаг 3. Исследуем знак выражения на каждом промежутке.
Поскольку у нас произведение двух линейных множителей, знак зависит от знаков каждого множителя.

• Для \( x < 3 \):
  \( x - 3 < 0 \),
  \( x - 5 < 0 \) (так как \( x < 3 \) и \( 3 < 5 \)),
  Значит, произведение: отрицательное \(\times\) отрицательное = положительное.

• Для \( 3 < x < 5 \):
  \( x - 3 > 0 \),
  \( x - 5 < 0 \),
  Произведение: положительное \(\times\) отрицательное = отрицательное.

• Для \( x > 5 \):
  \( x - 3 > 0 \),
  \( x - 5 > 0 \),
  Произведение: положительное \(\times\) положительное = положительное.

Шаг 4. Запишем итог:
Неравенство \( (x - 3)(x - 5) > 0 \) — истинно, когда произведение положительно, то есть при:
\[ x \in (-\infty, 3) \cup (5, +\infty) \]

Обратите внимание, что при \( x = 3 \) или \( x = 5 \) произведение равно нулю, а условие — строгое \( > 0 \), поэтому эти точки не включаются.

Ответ:
\[ \boxed{ x \in (-\infty, 3) \cup (5, +\infty) } \]

Если хотите, я могу показать, как это записать на графике или подробнее разъяснить любой шаг!