(х-1) (х-3) <0

Рассмотрим неравенство \((х-1)(х-3) < 0\) и постараемся понять его подробно.

Шаг 1. Найдите точки нуля произведения.
Произведение двух множителей равно нулю, когда хотя бы один из них равен нулю:

• \(х - 1 = 0 \Rightarrow х = 1\)
• \(х - 3 = 0 \Rightarrow х = 3\)

Эти точки разбивают числовую ось на три промежутка:

• \(х < 1\)
• \(1 < х < 3\)
• \(х > 3\)

Шаг 2. Определите знак произведения на каждом промежутке.
Знак произведения зависит от знаков каждого множителя.

• В интервале \(х < 1\):

  • \(х - 1 < 0\)
  • \(х - 3 < 0\)
    Произведение: отрицательное \(\times\) отрицательное = положительное.

• В интервале \(1 < х < 3\):

  • \(х - 1 > 0\)
  • \(х - 3 < 0\)
    Произведение: положительное \(\times\) отрицательное = отрицательное.

• В интервале \(х > 3\):

  • \(х - 1 > 0\)
  • \(х - 3 > 0\)
    Произведение: положительное \(\times\) положительное = положительное.

Шаг 3. Определите решение.
Нам нужно, чтобы произведение было меньше нуля:
\(\ (х-1)(х-3) < 0\).

Это происходит только на промежутке, где произведение отрицательное —
на промежутке \(1 < х < 3\).

Ответ:
\[ \boxed{ (1, 3) } \]

Это — все значения \(х\), при которых исходное неравенство выполняется.

Если есть вопросы или нужно подробнее — скажите!