Давайте разберем задачу шаг за шагом.
Введение и условия
- Изначально конденсатор не заряжен.
- Когда цепь замкнута, конденсатор заряжается до напряжения источника U = 1 кВ.
- После этого пространство между пластинами заполняется диэлектриком — дистиллированной водой, которая не проводит ток, но увеличивает диэлектрическую проницаемость пластин.
Нам нужно найти работу, совершенную внешними силами при медленном заполнении диэлектриком.
1. Начальные параметры
Напряжение источника: ( U = 1000, \text{В} )
Площадь пластин: ( S = 100, \text{см}^2 = 100 \times 10^{-4}, \text{м}^2 = 10^{-2}, \text{м}^2 )
Расстояние между пластинами: ( d = 8,85, \text мм = 8,85 \times 10^{-3}, \text{м} )
Постоянная электростатическая проницаемость вакуума: ( \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12}, \text{Ф/м} )
Коэффициент диэлектрической проницаемости воды: ( \varepsilon_r = 81 )
2. Начальное состояние — заряд и емкость без диэлектрика
- Емкость конденсатора без диэлектрика:
[
C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d}
]
Подставим значения:
[
C_0 = \frac{8,85 \times 10^{-12} \times 10^{-2}}{8,85 \times 10^{-3}} = \frac{8,85 \times 10^{-14}}{8,85 \times 10^{-3}} = 10^{-11}, \text{Ф}
]
Заряд на конденсаторе после зарядки (при напряжении ( U )):
[
Q_0 = C_0 U
]
[
Q_0 = 10^{-11} \times 10^3 = 10^{-8}, \text{Кл}
]
Начальная энергия электростатического поля:
[
W_0 = \frac{Q_0^2}{2 C_0}
]
или
[
W_0 = \frac{1}{2} C_0 U^2
]
Подставим:
[
W_0 = \frac{1}{2} \times 10^{-11} \times (10^3)^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-11} \times 10^6 = 0.5 \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-6}, \text{Дж}
]
3. Конечное состояние — влияние диэлектрика
После заполнения водой, емкость увеличивается:
[
C_{м} = \varepsilon_r C_0
]
Напряжение возрастает или уменьшается при медленном заполнении?
Важный момент: так как процесс медленный и ток при этом не идет (электрический проводник воду не проводит), заряда на пластинах не меняется. Conclusion:
— заряд (Q) остается постоянным, потому что ток не идет.
Напряжение после заполнения диэлектриком:
[
U_{м} = \frac{Q}{C_{м}} = \frac{Q_0}{\varepsilon_r C_0} = \frac{U}{\varepsilon_r}
]
[
U_{м} = \frac{1000, \text{В}}{81} \approx 12.35, \text{В}
]
- Новая энергия поля:
[
W_{м} = \frac{Q^2}{2 C_{м}} = \frac{Q_0^2}{2 \varepsilon_r C_0}
]
или равносильно:
[
W_{м} = \frac{W_0}{\varepsilon_r}
]
Подставим значение:
[
W_{м} = \frac{5 \times 10^{-6}}{81} \approx 6.17 \times 10^{-8}, \text{Дж}
]
4. Работа внешних сил
Работа внешних сил — это изменение энергоемкости системы, учитывая начальную и конечную энергию, а также работу по преодолению силы, возникающей при изменении напряжения.
При медленном заполнении диэлектриком:
[
A_{внеш} = \text{(энергия, доставленная внешними силами)} = \Delta W + W_{заряда}
]
Где:
- (W_{нач}) — начальная энергия (до заполнения),
- (W_{кон}) — конечная энергия (после заполнения).
Поскольку заряд не меняется, и при высокой медленной процедуре внешние силы соотносятся с изменением энергии системы:
[
A_{внеш} = W_{нач} - W_{кон}
]
Но так как мы изменили диэлектрическую проницаемость, и при этом заряд (Q) постоянен, внешние силы совершают работу, чтобы "переместить" энергию.
Реально, для процесса заполнения диэлектриком внешние силы совершают отрицательную работу, так как энергия системы после заполнения становится меньшей:
[
A_{внеш} = W_{нач} - W_{кон}
]
Подставим:
[
A_{внеш} = 5 \times 10^{-6} - 6.17 \times 10^{-8} \approx 4.94 \times 10^{-6}, \text{Дж}
]
Знак:
- Поскольку система отдает энергию (ее энергия при заполнении уменьшается), внешние силы забирают или выполняют отрицательную работу с точки зрения внешнего наблюдателя.
Итог:
[
\boxed{
A_{внеш} \approx - 4,94 \times 10^{-6}, \text{Дж}
}
]
Знак минус означает, что внешние силы выполняют работу против поля, отдавая энергию системе.
Итог:
Работа, совершаемая внешними силами при медленном заполнении конденсатора водой: примерно (-4,94 \times 10^{-6}) джоулей.
