На рисунке изображена схема электрической цепи, в состав которой входят последовательно соединённые резистор, незаряженный плоский конденсатор, высоковольтный источник постоянного…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Введение и условия

• Изначально конденсатор не заряжен.
• Когда цепь замкнута, конденсатор заряжается до напряжения источника U = 1 кВ.
• После этого пространство между пластинами заполняется диэлектриком — дистиллированной водой, которая не проводит ток, но увеличивает диэлектрическую проницаемость пластин.

Нам нужно найти работу, совершенную внешними силами при медленном заполнении диэлектриком.

---

1. Начальные параметры

• Напряжение источника: \( U = 1000\, \text{В} \)

• Площадь пластин: \( S = 100\, \text{см}^2 = 100 \times 10^{-4}\, \text{м}^2 = 10^{-2}\, \text{м}^2 \)

• Расстояние между пластинами: \( d = 8,85\, \text мм = 8,85 \times 10^{-3}\, \text{м} \)

• Постоянная электростатическая проницаемость вакуума: \( \varepsilon_0 = 8,85 \times 10^{-12}\, \text{Ф/м} \)

• Коэффициент диэлектрической проницаемости воды: \( \varepsilon_r = 81 \)

---

2. Начальное состояние — заряд и емкость без диэлектрика

• Емкость конденсатора без диэлектрика: \[ C_0 = \frac{\varepsilon_0 S}{d} \]

Подставим значения: \[ C_0 = \frac{8,85 \times 10^{-12} \times 10^{-2}}{8,85 \times 10^{-3}} = \frac{8,85 \times 10^{-14}}{8,85 \times 10^{-3}} = 10^{-11}\, \text{Ф} \]

• Заряд на конденсаторе после зарядки (при напряжении \( U \)): \[ Q_0 = C_0 U \] \[ Q_0 = 10^{-11} \times 10^3 = 10^{-8}\, \text{Кл} \]

• Начальная энергия электростатического поля: \[ W_0 = \frac{Q_0^2}{2 C_0} \] или \[ W_0 = \frac{1}{2} C_0 U^2 \]

Подставим: \[ W_0 = \frac{1}{2} \times 10^{-11} \times (10^3)^2 = \frac{1}{2} \times 10^{-11} \times 10^6 = 0.5 \times 10^{-5} = 5 \times 10^{-6}\, \text{Дж} \]

---

3. Конечное состояние — влияние диэлектрика

• После заполнения водой, емкость увеличивается: \[ C_{м} = \varepsilon_r C_0 \]

• Напряжение возрастает или уменьшается при медленном заполнении? Важный момент: так как процесс медленный и ток при этом не идет (электрический проводник воду не проводит), заряда на пластинах не меняется. Conclusion:

  — заряд \(Q\) остается постоянным, потому что ток не идет.

• Напряжение после заполнения диэлектриком: \[ U_{м} = \frac{Q}{C_{м}} = \frac{Q_0}{\varepsilon_r C_0} = \frac{U}{\varepsilon_r} \]

\[ U_{м} = \frac{1000\, \text{В}}{81} \approx 12.35\, \text{В} \]

• Новая энергия поля: \[ W_{м} = \frac{Q^2}{2 C_{м}} = \frac{Q_0^2}{2 \varepsilon_r C_0} \]

или равносильно: \[ W_{м} = \frac{W_0}{\varepsilon_r} \]

Подставим значение: \[ W_{м} = \frac{5 \times 10^{-6}}{81} \approx 6.17 \times 10^{-8}\, \text{Дж} \]

---

4. Работа внешних сил

Работа внешних сил — это изменение энергоемкости системы, учитывая начальную и конечную энергию, а также работу по преодолению силы, возникающей при изменении напряжения.

При медленном заполнении диэлектриком:

\[ A_{внеш} = \text{(энергия, доставленная внешними силами)} = \Delta W + W_{заряда} \]

Где:

• \(W_{нач}\) — начальная энергия (до заполнения),
• \(W_{кон}\) — конечная энергия (после заполнения).

Поскольку заряд не меняется, и при высокой медленной процедуре внешние силы соотносятся с изменением энергии системы:

\[ A_{внеш} = W_{нач} - W_{кон} \]

Но так как мы изменили диэлектрическую проницаемость, и при этом заряд \(Q\) постоянен, внешние силы совершают работу, чтобы "переместить" энергию.

Реально, для процесса заполнения диэлектриком внешние силы совершают отрицательную работу, так как энергия системы после заполнения становится меньшей:

\[ A_{внеш} = W_{нач} - W_{кон} \]

Подставим: \[ A_{внеш} = 5 \times 10^{-6} - 6.17 \times 10^{-8} \approx 4.94 \times 10^{-6}\, \text{Дж} \]

Знак:

• Поскольку система отдает энергию (ее энергия при заполнении уменьшается), внешние силы забирают или выполняют отрицательную работу с точки зрения внешнего наблюдателя.

Итог:

\[ \boxed{ A_{внеш} \approx - 4,94 \times 10^{-6}\, \text{Дж} } \]

Знак минус означает, что внешние силы выполняют работу против поля, отдавая энергию системе.

---

Итог:

Работа, совершаемая внешними силами при медленном заполнении конденсатора водой: примерно \(-4,94 \times 10^{-6}\) джоулей.