Давайте упростим выражение (\frac{\sin t}{1 - \cos t} - \frac{\cos t}{\sin t}).
Шаг 1: Запись исходного выражения
[
\frac{\sin t}{1 - \cos t} - \frac{\cos t}{\sin t}
]
Шаг 2: Приведение к общему знаменателю
Общий знаменатель — это произведение двух знаменателей: (\sin t (1 - \cos t)).
Запишем каждую дробь так, чтобы знаменатели совпадали:
[
\frac{\sin t}{1 - \cos t} = \frac{\sin^2 t}{\sin t (1 - \cos t)}
]
и
[
\frac{\cos t}{\sin t} = \frac{\cos t (1 - \cos t)}{\sin t (1 - \cos t)}
]
Теперь выражение становится:
[
\frac{\sin^2 t}{\sin t (1 - \cos t)} - \frac{\cos t (1 - \cos t)}{\sin t (1 - \cos t)}
]
Объединяем в одну дробь:
[
\frac{\sin^2 t - \cos t (1 - \cos t)}{\sin t (1 - \cos t)}
]
Шаг 3: Упростим числитель
Раскроем скобки в числителе:
[
\sin^2 t - \cos t + \cos^2 t
]
Поскольку (\sin^2 t + \cos^2 t = 1), получаем:
[
(1) - \cos t
]
То есть числитель:
[
1 - \cos t
]
Шаг 4: Итоговая форма
Теперь выражение выглядит так:
[
\frac{1 - \cos t}{\sin t (1 - \cos t)}
]
Можно сократить (1 - \cos t) в числителе и знаменателе:
[
\frac{\cancel{1 - \cos t}}{\sin t \cancel{(1 - \cos t)}} = \frac{1}{\sin t}
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{1}{\sin t} = \csc t}
]
Итог: исходное выражение упрощается до (\csc t).
