в прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 75 см а косинус одного из углов-7/25 Найдите периметр треугольника

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним все этапы.

Дано:

• Гипотенуза \( c = 75 \) см
• \(\cos \alpha = \frac{7}{25}\), где \(\alpha\) — один из острых углов треугольника

Нужно найти периметр треугольника, то есть сумму всех сторон \( a + b + c \).

Шаг 1. Определим стороны \( a \) и \( b \) (противолежащую и прилежащую к углу \(\alpha\)).

Поскольку у нас есть \(\cos \alpha\), это отношение прилежащей стороны к гипотенузе: \[ \cos \alpha = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\hypotenuse} = \frac{b}{c} \] Следовательно: \[ b = c \times \cos \alpha = 75 \times \frac{7}{25} \] Посчитаем: \[ b = 75 \times \frac{7}{25} = 75 \times 0.28 = 21. \text{ см} \]

Шаг 2. Найдём противолежащую сторону \( a \).

Используем синус \(\alpha\): \[ \sin \alpha = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\hypotenuse} = \frac{a}{c} \] Но сначала найдём \(\sin \alpha\), используя \(\cos \alpha\): \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2} \]

Расчёт: \[ \sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{625 - 49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{\sqrt{576}}{25} = \frac{24}{25} \]

Теперь найдём \(a\): \[ a = c \times \sin \alpha = 75 \times \frac{24}{25} = 75 \times 0.96 = 72 \text{ см} \]

Шаг 3. Проверка — найти гипотенузу.

Но у нас уже есть гипотенуза \( c = 75 \) см, что соответствует условию задачи. Всё верно.

Шаг 4. Найдём периметр \( P \):

\[ P = a + b + c = 72 + 21 + 75 = 168 \text{ см} \]

Итог:

Периметр треугольника равен \(\boxed{168}\) см.

Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение — обращайтесь!