Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним все этапы.
Дано:
- Гипотенуза ( c = 75 ) см
- (\cos \alpha = \frac{7}{25}), где (\alpha) — один из острых углов треугольника
Нужно найти периметр треугольника, то есть сумму всех сторон ( a + b + c ).
Шаг 1. Определим стороны ( a ) и ( b ) (противолежащую и прилежащую к углу (\alpha)).
Поскольку у нас есть (\cos \alpha), это отношение прилежащей стороны к гипотенузе:
[
\cos \alpha = \frac{\text{прилежащая сторона}}{\hypotenuse} = \frac{b}{c}
]
Следовательно:
[
b = c \times \cos \alpha = 75 \times \frac{7}{25}
]
Посчитаем:
[
b = 75 \times \frac{7}{25} = 75 \times 0.28 = 21. \text{ см}
]
Шаг 2. Найдём противолежащую сторону ( a ).
Используем синус (\alpha):
[
\sin \alpha = \frac{\text{противолежащая сторона}}{\hypotenuse} = \frac{a}{c}
]
Но сначала найдём (\sin \alpha), используя (\cos \alpha):
[
\sin \alpha = \sqrt{1 - \cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \left(\frac{7}{25}\right)^2}
]
Расчёт:
[
\sin \alpha = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{625 - 49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{\sqrt{576}}{25} = \frac{24}{25}
]
Теперь найдём (a):
[
a = c \times \sin \alpha = 75 \times \frac{24}{25} = 75 \times 0.96 = 72 \text{ см}
]
Шаг 3. Проверка — найти гипотенузу.
Но у нас уже есть гипотенуза ( c = 75 ) см, что соответствует условию задачи. Всё верно.
Шаг 4. Найдём периметр ( P ):
[
P = a + b + c = 72 + 21 + 75 = 168 \text{ см}
]
Итог:
Периметр треугольника равен (\boxed{168}) см.
Если есть дополнительные вопросы или нужно более подробное объяснение — обращайтесь!
