Рассмотрим задачу шаг за шагом:
Дано:
- Треугольник ( ABC ) вписан в окружность с центром ( O ).
- Точки ( O ) и ( C ) лежат в одной полуплоскости относительно прямой ( AB ).
- Угол ( AOB = 67^\circ ).
Требуется найти угол ( ACB ).
Шаг 1: Что означает ( AOB )?
Угол ( AOB ) — это угол при центре окружности, образованный радиусами ( OA ) и ( OB ).
Поскольку ( O ) — центр окружности, углы при центре окружности связаны с дугами, которые они опираются.
Угол ( AOB ) равен центральному углу, опирающемуся на дугу ( AB ).
Шаг 2: Связь центрального и вписанного угла
Из свойств окружности:
[
\text{Вписанный угол, опирающийся на дугу } AB = \frac{1}{2} \text{центрального угла } AOB
]
То есть, если ( \angle AOB = 67^\circ ), то угол ( \angle ACB ), который является вписанным в окружность и опирается на ту же дугу ( AB ), равен:
[
\angle ACB = \frac{1}{2} \times \angle AOB = \frac{1}{2} \times 67^\circ = 33{,}5^\circ
]
Шаг 3: Учитываем условие о расположении точек ( O ) и ( C )
Точки ( O ) и ( C ) лежат в одной полуплоскости относительно прямой ( AB ):
- Это важное условие для определения положения точки ( C ) и, следовательно, подтверждает, что вписанный угол ( ACB ) действительно равен половине центрального угла ( AOB ), проведённого через дугу ( AB ).
Так как точка ( C ) находится в той же полуплоскости, что и ( O ), то всё же решение не изменяет полученного результата.
Ответ:
[
\boxed{33{,}5^\circ}
]
или, округляя до целых, — 34 градуса.
Итог: Угол ( \angle ACB ) равен 33,5°.
