Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен √27 см. Найдите площадь шестиугольника.

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап. --- **Дано:** - Радиус вписанной окружности (радиус вписанной окружности правильного шестиугольника) \( r = \sqrt{27} \) см. **Что нужно найти:** - Площадь правильного шестиугольника \( S \). --- ### Шаг 1: Связь радиуса вписанной окружности и стороны шестиугольника Для правильного многоугольника (в данном случае — правильного шестиугольника) радиус вписанной окружности \( r \) равен: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{2} \] где \( a \) — длина стороны шестиугольника. **Обоснование:** - В правильном шестиугольнике радиус окружности, вписанной внутрь, — это апотема, которая равна расстоянию от центра до стороны. - В многоугольнике с \( n \) сторонами апотема \( r \) связана с длиной стороны \( a \) через формулу: \[ r = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)} \] - Для шестиугольника \( n=6 \), и \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \). - Поэтому: \[ r = \frac{a}{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \] --- ### Шаг 2: Решить уравнение для \( a \) Из формулы: \[ r = \frac{a \sqrt{3}}{2} \] подставим \( r = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \): \[ 3\sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \] Упростим: \[ 3\sqrt{3} \times 2 = a \sqrt{3} \] \[ 6 \sqrt{3} = a \sqrt{3} \] Поделим обе части на \( \sqrt{3} \): \[ a = 6 \] **Итого:** \[ \boxed{a = 6 \text{ см}} \] --- ### Шаг 3: Найти площадь шестиугольника Площадь правильного шестиугольника с стороной \( a \) можно найти по формуле: \[ S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 \] Подставим \( a = 6 \): \[ S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 6^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 36 \] Выполним умножение: \[ S = 36 \times \frac{3 \sqrt{3}}{2} = 36 \times \frac{3 \sqrt{3}}{2} \] Можно упростить: \[ S = (36 \div 2) \times 3 \sqrt{3} = 18 \times 3 \sqrt{3} = 54 \sqrt{3} \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \text{Площадь шестиугольника} = 54 \sqrt{3} \text{ см}^2 } \] Это окончательное решение задачи.