Радиус окружности, вписанной в правильный шестиугольник, равен √27 см. Найдите площадь шестиугольника.
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Радиус вписанной окружности (радиус вписанной окружности правильного шестиугольника) \( r = \sqrt{27} \) см.
Что нужно найти:
- Площадь правильного шестиугольника \( S \).
Шаг 1: Связь радиуса вписанной окружности и стороны шестиугольника
Для правильного многоугольника (в данном случае — правильного шестиугольника) радиус вписанной окружности \( r \) равен:
\[
r = \frac{a \sqrt{3}}{2}
\]
где \( a \) — длина стороны шестиугольника.
Обоснование:
- В правильном шестиугольнике радиус окружности, вписанной внутрь, — это апотема, которая равна расстоянию от центра до стороны.
- В многоугольнике с \( n \) сторонами апотема \( r \) связана с длиной стороны \( a \) через формулу:
\[ r = \frac{a}{2 \tan(\pi/n)} \] - Для шестиугольника \( n=6 \), и \( \tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} \).
- Поэтому:
\[ r = \frac{a}{2 \times \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \]
Шаг 2: Решить уравнение для \( a \)
Из формулы:
\[
r = \frac{a \sqrt{3}}{2}
\]
подставим \( r = \sqrt{27} = 3\sqrt{3} \):
\[ 3\sqrt{3} = \frac{a \sqrt{3}}{2} \]
Упростим:
\[ 3\sqrt{3} \times 2 = a \sqrt{3} \] \[ 6 \sqrt{3} = a \sqrt{3} \]
Поделим обе части на \( \sqrt{3} \):
\[ a = 6 \]
Итого:
\[
\boxed{a = 6 \text{ см}}
\]
Шаг 3: Найти площадь шестиугольника
Площадь правильного шестиугольника с стороной \( a \) можно найти по формуле:
\[ S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} a^2 \]
Подставим \( a = 6 \):
\[ S = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 6^2 = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times 36 \]
Выполним умножение:
\[ S = 36 \times \frac{3 \sqrt{3}}{2} = 36 \times \frac{3 \sqrt{3}}{2} \]
Можно упростить:
\[ S = (36 \div 2) \times 3 \sqrt{3} = 18 \times 3 \sqrt{3} = 54 \sqrt{3} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Площадь шестиугольника} = 54 \sqrt{3} \text{ см}^2 } \]
Это окончательное решение задачи.
