Упростите выражение если известно что икс меньше 45° косинус три пи 2+ икс косинус три пи на два минус икс
Рассмотрим выражение, которое нужно упростить:
\[ \cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) \cdot \cos\left( \frac{3\pi}{2} - x \right) \]
Известно, что \( x < 45^\circ \), это — диапазон и свойства для синуса и косинуса, но здесь скорее важна тригонометрическая формула.
Шаг 1: Используем формулу для косинуса суммы
Напомним формулу косинуса суммы: \[ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \]
Шаг 2: Применим формулу к каждому аргументу:
- Для \(\cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right)\):
\[ \cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = \cos \frac{3\pi}{2} \cos x - \sin \frac{3\pi}{2} \sin x \]
- Для \(\cos\left( \frac{3\pi}{2} - x \right)\):
\[ \cos\left( \frac{3\pi}{2} - x \right) = \cos \frac{3\pi}{2} \cos x + \sin \frac{3\pi}{2} \sin x \]
Шаг 3: Вспомним значения \(\cos \frac{3\pi}{2}\) и \(\sin \frac{3\pi}{2}\):
\[ \cos \frac{3\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{3\pi}{2} = -1 \]
Следовательно:
\[ \cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = 0 \cdot \cos x - (-1) \cdot \sin x = \sin x \]
\[ \cos\left( \frac{3\pi}{2} - x \right) = 0 \cdot \cos x + (-1) \cdot \sin x = - \sin x \]
Шаг 4: Постоянно получим произведение:
\[ \cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) \cdot \cos\left( \frac{3\pi}{2} - x \right) = \sin x \cdot (- \sin x) = - \sin^2 x \]
Итог:
Упростив выражение, получаем:
\[ \boxed{ - \sin^2 x } \]
Это — окончательный ответ.
