Упростите выражение если известно что икс меньше 45° косинус три пи 2+ икс косинус три пи на два минус икс

Рассмотрим выражение, которое нужно упростить: \[ \cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) \cdot \cos\left( \frac{3\pi}{2} - x \right) \] Известно, что \( x < 45^\circ \), это — диапазон и свойства для синуса и косинуса, но здесь скорее важна тригонометрическая формула. --- ### Шаг 1: Используем формулу для косинуса суммы Напомним формулу косинуса суммы: \[ \cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B \] ### Шаг 2: Применим формулу к каждому аргументу: - Для \(\cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right)\): \[ \cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = \cos \frac{3\pi}{2} \cos x - \sin \frac{3\pi}{2} \sin x \] - Для \(\cos\left( \frac{3\pi}{2} - x \right)\): \[ \cos\left( \frac{3\pi}{2} - x \right) = \cos \frac{3\pi}{2} \cos x + \sin \frac{3\pi}{2} \sin x \] --- ### Шаг 3: Вспомним значения \(\cos \frac{3\pi}{2}\) и \(\sin \frac{3\pi}{2}\): \[ \cos \frac{3\pi}{2} = 0, \quad \sin \frac{3\pi}{2} = -1 \] Следовательно: \[ \cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) = 0 \cdot \cos x - (-1) \cdot \sin x = \sin x \] \[ \cos\left( \frac{3\pi}{2} - x \right) = 0 \cdot \cos x + (-1) \cdot \sin x = - \sin x \] --- ### Шаг 4: Постоянно получим произведение: \[ \cos\left( \frac{3\pi}{2} + x \right) \cdot \cos\left( \frac{3\pi}{2} - x \right) = \sin x \cdot (- \sin x) = - \sin^2 x \] --- ### Итог: **Упростив выражение, получаем:** \[ \boxed{ - \sin^2 x } \] Это — окончательный ответ.