2) В каждом из 500 независимых испытаний событие А происходит с постоянной вероятностью 0,4. Найти вероятность того, что событие А происходит точно 220 раз.

Рассмотрим задачу о биномиальном распределении. У нас есть 500 независимых испытаний, в каждом из которых событие А происходит с вероятностью \( p = 0,4 \). Нужно найти вероятность того, что событие А произойдет ровно 220 раз.

Шаг 1. Формула биномиальной вероятности

Вероятность того, что событие произойдет ровно \( k \) раз при \( n \) испытаниях, задается формулой:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 - p)^{n - k} \]

где:

• \( n = 500 \),
• \( k = 220 \),
• \( p = 0,4 \),
• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент, который равен:

\[ \binom{n}{k} = \frac{n!}{k! (n - k)!} \]

Шаг 2. Записываем нужную вероятность

Подставляем значения:

\[ P(X=220) = \binom{500}{220} (0,4)^{220} (0,6)^{280} \]

Это точное выражение, но вычислить его напрямую сложно из-за больших чисел. Для подобных задач используют приближения, например, бинаминальное распределение можно приблизить к нормальному.

Шаг 3. Приближение к нормальному распределению

Для больших \( n \) помогает центральная предельная теорема, которая говорит, что биномиальное распределение хорошо приближается к нормальному:

\[ X \sim N(\mu, \sigma^2) \]

где

\[ \mu = np = 500 \times 0,4 = 200 \]

\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{500 \times 0,4 \times 0,6} = \sqrt{120} \approx 10.954 \]

Шаг 4. Использование нормального приближения

Чтобы найти вероятность того, что \( X \) равно 220, используем приближение:

\[ P(X=220) \approx P(219,5 < X < 220,5) \]

где используется так называемый "справочный контур" с добавлением 0,5 для учета дискретизации (выравнивание непрерывных и дискретных распределений).

Стандартизируем эти границы:

\[ Z_1 = \frac{219,5 - \mu}{\sigma} = \frac{219,5 - 200}{10,954} \approx \frac{19,5}{10,954} \approx 1,78 \]

\[ Z_2 = \frac{220,5 - \mu}{\sigma} = \frac{220,5 - 200}{10,954} \approx \frac{20,5}{10,954} \approx 1,87 \]

Теперь находим вероятности по таблице стандартного нормального распределения:

\[ P(Z < 1,87) \approx 0,9693 \] \[ P(Z < 1,78) \approx 0,9625 \]

Таким образом,

\[ P(219,5 < X < 220,5) \approx P(Z < 1,87) - P(Z < 1,78) \approx 0,9693 - 0,9625 = 0,0068 \]

Итог:

Вероятность того, что событие А произойдет ровно 220 раз из 500 — примерно 0,0068.

Если нужно более точное значение, можно использовать программное обеспечение для вычислений, например, калькуляторы статистики или компьютерные пакеты, которые могут точно рассчитать биномиальные вероятности.