Найдите значение выражения

Давайте разберёмся с этим выражением пошагово:

Исходное выражение: \[ \sqrt{2\sqrt{5} + 6} - \sqrt{5} \]

1. Обратим внимание на внутренние квадратные корни и попытаемся упростить выражение под внешней корневой.

2. Посмотрим на первую часть под корнем: \(2\sqrt{5} + 6\).

Можно предположить, что оно может быть представлено в виде квадрата суммы двух выражений, например: \[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 \] где при раскладывании: \[ (\sqrt{a} + \sqrt{b})^2 = a + b + 2\sqrt{ab} \]

3. Тогда сравним: \[ a + b = 6 \] и \[ 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{5} \] откуда \[ 2\sqrt{ab} = 2\sqrt{5} \Rightarrow \sqrt{ab} = \sqrt{5} \Rightarrow ab = 5 \]

4. Теперь решим систему: \[ a + b = 6 \] \[ ab = 5 \]

Это квадратное уравнение относительно \(a\): \[ a(6 - a) = 5 \Rightarrow 6a - a^2 = 5 \] или \[ a^2 - 6a + 5 = 0 \]

Решим его: \[ a = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 20}}{2} = \frac{6 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{6 \pm 4}{2} \]

Получаем два решения:

• \(a = \frac{6 + 4}{2} = 5\),
• \(a = \frac{6 - 4}{2} = 1\).

Соответственно, эти значения подходят для \(a\) и \(b\). Тогда:

• Если \(a=5\), то \(b=1\),
• или наоборот, \(a=1\), \(b=5\).

5. Значит: \[ 2\sqrt{5} + 6 = (\sqrt{5} + \sqrt{1})^2 = (\sqrt{5} + 1)^2 \]

6. Следовательно, внутри первой корневой: \[ \sqrt{2\sqrt{5} + 6} = \sqrt{(\sqrt{5} + 1)^2} = |\sqrt{5} + 1| = \sqrt{5} + 1 \] (так как \( \sqrt{5} + 1 > 0 \)).

7. Теперь исходное выражение: \[ \sqrt{2\sqrt{5} + 6} - \sqrt{5} = (\sqrt{5} + 1) - \sqrt{5} = 1 \]

Ответ: \(\boxed{1}\)

Если есть вопросы или нужно более подробное объяснение — спрашивайте!