Сторона правильной треугольной пирамиды 3 см, а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Плиз....

Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, как найти площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды с заданными параметрами. **Дано:** - Длина стороны основания (ребро треугольника) \( a = 3 \) см - Угол между боковой гранью и основанием \( \alpha = 45^\circ \) **Задача:** найти площадь полной поверхности пирамиды. --- ### Шаг 1: Понять геометрическую конструкцию - Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 3 \) см. - Вся пирамида правильная — вершина симметрична относительно основания. - Боковые грани — равнобедренные треугольники, у которых одна сторона — боковая грань (наискось) пирамиды. - Угол между боковой гранью и основанием \( 45^\circ \). Этот угол — угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания. --- ### Шаг 2: Найти высоту основания \( h_{осн} \) Основание — правильный треугольник стороной 3 см. Формула высоты правильного треугольника: \[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] подставляем \( a = 3 \): \[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см} \] --- ### Шаг 3: Найти высоту боковой грани Для этого рассмотрим треугольник, образованный: - вершиной пирамиды, - серединой основания (точка на стороне), - и вершиной основания. Так как угол между боковой гранью и основанием равен \( 45^\circ \), это помогает связать наклон боковой грани с высотой. --- ### Шаг 4: Найти высоту боковой грани (или высоту треугольника боковой гранной) Обозначим: - \( s \) — длина боковой грани (склоненной стороны), - \( h_b \) — высота боковой грани (от вершины до основания). Т.к. угол между боковой гранью и основанием 45°, то угол между высотой боковой грани и основанием также 45°. --- ### Шаг 5: Используем тригонометрию Для боковой грани треугольника, основание которого — отрезок основания пирамиды, и угол между боковой гранью и основанием — \(45^\circ\): \[ h_b = s \sin 45^\circ = s \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] и \[ h_{осн} = s \cos 45^\circ = s \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] Но важно понимать, что высота основания (глубина) — не равна высоте боковой грани. Вместо этого, нужно понять, что: - Высота боковой грани (от вершины пирамиды) до наклонной грани — это \( h_b \), - А угол между гранями — 45° — это угол между плоскостью основания и боковой гранью. --- ### Шаг 6: Нахождение длины боковой ребра \( s \) Рассмотрим треугольник, в котором: - Катеты — высота основания \( h_{осн} \) - А также отрезок, равный высоте боковой грани \( h_b \) - Гипотенуза — боковая грань \( s \). Из условий равенства угла и тригонометрии можем вывести, что: \[ h_{осн} = s \cos 45^\circ = s \times \frac{\sqrt{2}}{2} \] Решаем относительно \( s \): \[ s = \frac{h_{осн}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = h_{осн} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = h_{осн} \times \sqrt{2} \] Подставляем \( h_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \): \[ s = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{6}}{2} \] ### Итог: длина боковой грани \( s = \frac{3 \sqrt{6}}{2} \) см. --- ### Шаг 7: Найти площадь боковых сторон Боковые стороны — это равнобедренные треугольники со стороны \( s \), основанием равным стороне основания (3 см). Площадь каждой боковой поверхности: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота боковой грани} \] Высота боковой грани: \[ h_b = s \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{6}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{6} \times \sqrt{2}}{4} = \frac{3 \sqrt{12}}{4} = \frac{3 \times 2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \] Тогда площадь одной боковой стороны: \[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \times 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \] Всего боковых сторон три, сумма их площадей: \[ S_{бок, все} = 3 \times \frac{9 \sqrt{3}}{4} = \frac{27 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \] --- ### Шаг 8: Найти площадь основания Площадь правильного треугольника: \[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \] --- ### Шаг 9: Площадь полной поверхности Это сумма площади основания и боковых сторон: \[ S_{полная} = S_{осн} + S_{бок, все} \] \[ S_{полная} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} + \frac{27 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \text{ см}^2 \] --- ### **Ответ:** **Площадь полной поверхности пирамиды равна \( \boxed{9 \sqrt{3} \text{ см}^2} \).**