Сторона правильной треугольной пирамиды 3 см, а угол между боковой гранью и основанием пирамиды равен 45 градусов. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. Плиз....
Давайте решим задачу по шагам, чтобы понять, как найти площадь полной поверхности правильной треугольной пирамиды с заданными параметрами.
Дано:
- Длина стороны основания (ребро треугольника) \( a = 3 \) см
- Угол между боковой гранью и основанием \( \alpha = 45^\circ \)
Задача: найти площадь полной поверхности пирамиды.
Шаг 1: Понять геометрическую конструкцию
- Основание — правильный треугольник со стороной \( a = 3 \) см.
- Вся пирамида правильная — вершина симметрична относительно основания.
- Боковые грани — равнобедренные треугольники, у которых одна сторона — боковая грань (наискось) пирамиды.
- Угол между боковой гранью и основанием \( 45^\circ \). Этот угол — угол между плоскостью боковой грани и плоскостью основания.
Шаг 2: Найти высоту основания \( h_{осн} \)
Основание — правильный треугольник стороной 3 см.
Формула высоты правильного треугольника: \[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} a \] подставляем \( a = 3 \): \[ h_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{2} \times 3 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \text{ см} \]
Шаг 3: Найти высоту боковой грани
Для этого рассмотрим треугольник, образованный:
- вершиной пирамиды,
- серединой основания (точка на стороне),
- и вершиной основания.
Так как угол между боковой гранью и основанием равен \( 45^\circ \), это помогает связать наклон боковой грани с высотой.
Шаг 4: Найти высоту боковой грани (или высоту треугольника боковой гранной)
Обозначим:
- \( s \) — длина боковой грани (склоненной стороны),
- \( h_b \) — высота боковой грани (от вершины до основания).
Т.к. угол между боковой гранью и основанием 45°, то угол между высотой боковой грани и основанием также 45°.
Шаг 5: Используем тригонометрию
Для боковой грани треугольника, основание которого — отрезок основания пирамиды, и угол между боковой гранью и основанием — \(45^\circ\):
\[ h_b = s \sin 45^\circ = s \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]
и
\[ h_{осн} = s \cos 45^\circ = s \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Но важно понимать, что высота основания (глубина) — не равна высоте боковой грани. Вместо этого, нужно понять, что:
- Высота боковой грани (от вершины пирамиды) до наклонной грани — это \( h_b \),
- А угол между гранями — 45° — это угол между плоскостью основания и боковой гранью.
Шаг 6: Нахождение длины боковой ребра \( s \)
Рассмотрим треугольник, в котором:
- Катеты — высота основания \( h_{осн} \)
- А также отрезок, равный высоте боковой грани \( h_b \)
- Гипотенуза — боковая грань \( s \).
Из условий равенства угла и тригонометрии можем вывести, что:
\[ h_{осн} = s \cos 45^\circ = s \times \frac{\sqrt{2}}{2} \]
Решаем относительно \( s \):
\[ s = \frac{h_{осн}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = h_{осн} \times \frac{2}{\sqrt{2}} = h_{осн} \times \sqrt{2} \]
Подставляем \( h_{осн} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \):
\[ s = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \sqrt{2} = \frac{3\sqrt{3} \times \sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{6}}{2} \]
Итог: длина боковой грани \( s = \frac{3 \sqrt{6}}{2} \) см.
Шаг 7: Найти площадь боковых сторон
Боковые стороны — это равнобедренные треугольники со стороны \( s \), основанием равным стороне основания (3 см).
Площадь каждой боковой поверхности:
\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота боковой грани} \]
Высота боковой грани:
\[ h_b = s \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{6}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{3 \sqrt{6} \times \sqrt{2}}{4} = \frac{3 \sqrt{12}}{4} = \frac{3 \times 2 \sqrt{3}}{4} = \frac{6 \sqrt{3}}{4} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \]
Тогда площадь одной боковой стороны:
\[ S_{бок} = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \times 3 \times \frac{3 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \times 3 \sqrt{3}}{4} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \]
Всего боковых сторон три, сумма их площадей:
\[ S_{бок, все} = 3 \times \frac{9 \sqrt{3}}{4} = \frac{27 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \]
Шаг 8: Найти площадь основания
Площадь правильного треугольника:
\[ S_{осн} = \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 9 = \frac{9 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2 \]
Шаг 9: Площадь полной поверхности
Это сумма площади основания и боковых сторон:
\[ S_{полная} = S_{осн} + S_{бок, все} \] \[ S_{полная} = \frac{9 \sqrt{3}}{4} + \frac{27 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3} \text{ см}^2 \]
Ответ:
Площадь полной поверхности пирамиды равна \( \boxed{9 \sqrt{3} \text{ см}^2} \).
