На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD отмечены точки М и N. Известно, что AM: MB= 1:5, a BN: NC =1:3. Найдите площадь треугольника MND, если площадь параллелограмма ABCD равна…

Рассмотрим условие задачи и приступим к ее решению пошагово. Нам даны параллелограмм \( ABCD \), точки \( M \) на стороне \( AB \) и \( N \) на стороне \( BC \). Также даны соотношения деления этих сторон и площадь всего параллелограмма. Требуется найти площадь треугольника \( MND \).

Шаг 1. Вводные данные и обозначения

• \( ABCD \) — параллелограмм, \( \text{Area}(ABCD) = 336 \).

• Точка \( M \) на стороне \( AB \), делит её в отношении \( AM:MB = 1:5 \).

• Точка \( N \) на стороне \( BC \), делит её в отношении \( BN:NC = 1:3 \).

• Нужно найти площадь треугольника \( MND \).

Шаг 2. Введение координат

Для удобства выберем систему координат:

• Пусть \( A = (0, 0) \),
• \( B = (b, 0) \),
• \( D = (0, d) \),
• Тогда \( C = B + D = (b, d) \).

Площадь параллелограмма:
\[ \text{Area} = |b \times d| = 336 \Rightarrow b \times d = 336. \]

Шаг 3. Определение точек \( M \) и \( N \)

• Точка \( M \) на \( AB \): \[ AM:MB = 1:5 \Rightarrow \text{длина } AB = b, \text{по этому } M = \left(\frac{1}{1+5} \times b, 0 \right) = \left(\frac{b}{6}, 0 \right). \]

• Точка \( N \) на \( BC \): \[ BN:NC=1:3, \] где \( B = (b, 0) \), \( C = (b, d) \).

Длина \( BC \): \[ |BC| = d, \] точка \( N \): \[ N = B + \frac{1}{1+3} \times (C - B) = (b, 0) + \frac{1}{4}(0, d) = \left(b, \frac{d}{4}\right). \]

Шаг 4. Координаты точек

Итак, имеем: \[ M = \left(\frac{b}{6}, 0\right), \] \[ N = \left(b, \frac{d}{4}\right), \] \[ D = (0, d). \]

Нас интересует площадь треугольника \( MND \).

Шаг 5. Формула площади через координаты

Площадь треугольника задана формулой: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|. \]

Подставим точки: \[ M = \left(\frac{b}{6}, 0\right), \quad N = \left(b, \frac{d}{4}\right), \quad D = (0, d). \]

Подставляем: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| \frac{b}{6} \left(\frac{d}{4} - d\right) + b (d - 0) + 0(0 - \frac{d}{4}) \right|. \]

Упростим выражение:

1. Вычислим \( \frac{d}{4} - d \): \[ \frac{d}{4} - d = \frac{d - 4d}{4} = -\frac{3d}{4}. \]

2. Подставим: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| \frac{b}{6} \times \left(-\frac{3d}{4}\right) + b \times d + 0 \right|. \]

3. Упростим: \[ = \frac{1}{2} \left| - \frac{b}{6} \times \frac{3d}{4} + b d \right|. \]

4. Перемножим первую часть: \[ - \frac{b}{6} \times \frac{3d}{4} = - \frac{b \times 3d}{6 \times 4} = - \frac{3 b d}{24} = - \frac{b d}{8}. \]

Таким образом, площадь: \[ = \frac{1}{2} \left| - \frac{b d}{8} + b d \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{-b d + 8 b d}{8} \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{7 b d}{8} \right| = \frac{1}{2} \times \frac{7 b d}{8} = \frac{7 b d}{16}. \]

Шаг 6. Использование известной площади

Известно, что площадь параллелограмма \( ABCD \): \[ b \times d = 336. \] Тогда площадь треугольника: \[ \text{Area}(MND) = \frac{7}{16} \times b d = \frac{7}{16} \times 336. \]

Вычислим: \[ \frac{7}{16} \times 336 = 7 \times \frac{336}{16} = 7 \times 21 = 147. \]

Итог:

Ответ: \(\boxed{147}\).

Площадь треугольника \( MND \) равна 147.