На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD отмечены точки М и N. Известно, что AM: MB= 1:5, a BN: NC =1:3. Найдите площадь треугольника MND, если площадь параллелограмма ABCD равна 336.
Ответ нейросети
05 мая 2025 20:55
Рассмотрим условие задачи и приступим к ее решению пошагово. Нам даны параллелограмм ( ABCD ), точки ( M ) на стороне ( AB ) и ( N ) на стороне ( BC ). Также даны соотношения деления этих сторон и площадь всего параллелограмма. Требуется найти площадь треугольника ( MND ).
Шаг 1. Вводные данные и обозначения
( ABCD ) — параллелограмм, ( \text{Area}(ABCD) = 336 ).
Точка ( M ) на стороне ( AB ), делит её в отношении ( AM:MB = 1:5 ).
Точка ( N ) на стороне ( BC ), делит её в отношении ( BN:NC = 1:3 ).
Нужно найти площадь треугольника ( MND ).
Шаг 2. Введение координат
Для удобства выберем систему координат:
- Пусть ( A = (0, 0) ),
- ( B = (b, 0) ),
- ( D = (0, d) ),
- Тогда ( C = B + D = (b, d) ).
Площадь параллелограмма:
[
\text{Area} = |b \times d| = 336 \Rightarrow b \times d = 336.
]
Шаг 3. Определение точек ( M ) и ( N )
Точка ( M ) на ( AB ): [ AM:MB = 1:5 \Rightarrow \text{длина } AB = b, \text{по этому } M = \left(\frac{1}{1+5} \times b, 0 \right) = \left(\frac{b}{6}, 0 \right). ]
Точка ( N ) на ( BC ): [ BN:NC=1:3, ] где ( B = (b, 0) ), ( C = (b, d) ).
Длина ( BC ): [ |BC| = d, ] точка ( N ): [ N = B + \frac{1}{1+3} \times (C - B) = (b, 0) + \frac{1}{4}(0, d) = \left(b, \frac{d}{4}\right). ]
Шаг 4. Координаты точек
Итак, имеем: [ M = \left(\frac{b}{6}, 0\right), ] [ N = \left(b, \frac{d}{4}\right), ] [ D = (0, d). ]
Нас интересует площадь треугольника ( MND ).
Шаг 5. Формула площади через координаты
Площадь треугольника задана формулой: [ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right|. ]
Подставим точки: [ M = \left(\frac{b}{6}, 0\right), \quad N = \left(b, \frac{d}{4}\right), \quad D = (0, d). ]
Подставляем: [ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| \frac{b}{6} \left(\frac{d}{4} - d\right) + b (d - 0) + 0(0 - \frac{d}{4}) \right|. ]
Упростим выражение:
Вычислим ( \frac{d}{4} - d ): [ \frac{d}{4} - d = \frac{d - 4d}{4} = -\frac{3d}{4}. ]
Подставим: [ \text{Area} = \frac{1}{2} \left| \frac{b}{6} \times \left(-\frac{3d}{4}\right) + b \times d + 0 \right|. ]
Упростим: [ = \frac{1}{2} \left| - \frac{b}{6} \times \frac{3d}{4} + b d \right|. ]
Перемножим первую часть: [
- \frac{b}{6} \times \frac{3d}{4} = - \frac{b \times 3d}{6 \times 4} = - \frac{3 b d}{24} = - \frac{b d}{8}. ]
Таким образом, площадь: [ = \frac{1}{2} \left| - \frac{b d}{8} + b d \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{-b d + 8 b d}{8} \right| = \frac{1}{2} \left| \frac{7 b d}{8} \right| = \frac{1}{2} \times \frac{7 b d}{8} = \frac{7 b d}{16}. ]
Шаг 6. Использование известной площади
Известно, что площадь параллелограмма ( ABCD ): [ b \times d = 336. ] Тогда площадь треугольника: [ \text{Area}(MND) = \frac{7}{16} \times b d = \frac{7}{16} \times 336. ]
Вычислим: [ \frac{7}{16} \times 336 = 7 \times \frac{336}{16} = 7 \times 21 = 147. ]
Итог:
Ответ: (\boxed{147}).
Площадь треугольника ( MND ) равна 147.
Понравился ответ?
Задай свой вопрос
Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит
