В прямом параллелепипеде стороны основания 1 см и 2 см образуют угол 30°. боковая поверхность равна 16 см². найдите его объем

Рассмотрим задачу внимательно. В прямом параллелепипеде основание — это прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см, образующими угол 30°. Боковая поверхность равна 16 см². Требуется найти объем.

Шаг 1. Обозначим переменные:

• Пусть высота параллелепипеда — \(h\).
• Пусть стороны основания: \(a = 1\,\text{см}\) и \(b = 2\,\text{см}\).
• Угол между сторонами основания: \(30^\circ\).

Шаг 2. Определим площадь основания: \[ S_{основания} = a \times b = 1 \times 2 = 2\,\text{см}^2 \]

Шаг 3. Важно понять, что значит, что стороны основания образуют угол 30°. То есть, одна сторона расположена по горизонтали, а вторая — под углом 30° к ней.

Чтобы вычислить боковую поверхность, нужно понять, какие грани образуются.

Шаг 4. Обозначим стороны основания так:

• \(a = 1\,\text{см}\) — длина стороны, которая идет вдоль горизонтальной оси.
• \(b = 2\,\text{см}\) — длина стороны, которая под углом 30°, то есть, если она наклонена.

Рассмотрим боковые поверхности, они образуются вертикальными гранями, соединяющими верх и низ.

Поскольку боковая поверхность равна 16 см², и она складывается из четырех прямоугольных поверхностей, то:

\[ \text{Боковая поверхность} = 2 \times (a \times h) + 2 \times (\text{длина наклоненной стороны} \times h) \]

Но так как сторона \(b\) наклонена под углом 30°, она "проецируется" на горизонталь, и её проекция равна \(b \cos 30^\circ\).

Шаг 5. Вычислим длину наклоненной стороны, исходя из ее положения.

При этом, боковые поверхности образуют стороны, которые по сути имеют площади:

• Основание вдоль стороны \(a\): площадь боковой поверхности \(= a \times h\)
• Основание вдоль наклонной стороны: длина наклонной стороны \(b_{накл}\) — это то, что нам нужно найти, чтобы понять боковые грани.

Допустим, что высота параллелепипеда — \(h\). Тогда боковая поверхность состоит из двух прямоугольников:

• Один вдоль стороны \(a\) с высотой \(h\): площадь \(a \times h = 1 \times h\)
• Другой вдоль наклонной стороны с длиной \(b_{накл}\): площадь \(b_{накл} \times h\)

Поскольку боковая поверхность равна 16 см², то:

\[ 2 \times (a \times h) + 2 \times (b_{накл} \times h) = 16 \]

Используя \(a=1\), получим:

\[ 2 \times 1 \times h + 2 \times b_{накл} \times h = 16 \] \[ 2h + 2b_{накл}h = 16 \] \[ h(2 + 2b_{накл}) = 16 \] \[ h(2(1 + b_{накл})) = 16 \]

Шаг 6. Определим \(b_{накл}\) через геометрию.

• Поскольку основание — это фигура с одной стороной, наклоненной под углом 30°, то:

\[ b_{накл} = b / \cos 30^\circ = 2 / \cos 30^\circ \]

Значение \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), следовательно:

\[ b_{накл} = 2 / (\sqrt{3}/2) = 2 \times (2 / \sqrt{3}) = 4 / \sqrt{3} \]

Шаг 7. Вернемся к уравнению для высоты \(h\):

\[ h \times 2(1 + 4 / \sqrt{3}) = 16 \]

Упростим скобки:

\[ 1 + \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 4}{\sqrt{3}} \]

Тогда:

\[ h \times 2 \times \frac{\sqrt{3} + 4}{\sqrt{3}} = 16 \]

Или:

\[ h \times \frac{2(\sqrt{3} + 4)}{\sqrt{3}} = 16 \]

Решим относительно \(h\):

\[ h = \frac{16 \times \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} + 4)} = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 4} \]

Можно оставить так или упростить, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3} - 4\):

\[ h = \frac{8 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 4)}{(\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 4)} = \frac{8 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 4)}{3 - 16} = \frac{8 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 4)}{-13} \]

Раскроем numerator:

\[ 8 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 4) = 8 \sqrt{3} \times \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \times 4 = 8 \times 3 - 32 \sqrt{3} = 24 - 32 \sqrt{3} \]

Тогда:

\[ h = \frac{24 - 32 \sqrt{3}}{-13} \]

Можно вынести минус:

\[ h = - \frac{24 - 32 \sqrt{3}}{13} = \frac{32 \sqrt{3} - 24}{13} \]

Это значение высоты.

Шаг 8. Объем параллелепипеда:

\[ V = S_{основания} \times h = 2 \times h \]

Подставим \(h\):

\[ V = 2 \times \frac{32 \sqrt{3} - 24}{13} = \frac{2 (32 \sqrt{3} - 24)}{13} = \frac{64 \sqrt{3} - 48}{13} \]

Ответ: Объем равен

\[ \boxed{\frac{64 \sqrt{3} - 48}{13} \text{ см}^3} \]

Это окончательный ответ, выраженный в точных числах. Если нужно, можно приблизительно вычислить:

\[ \sqrt{3} \approx 1.732 \] \[ 64 \times 1.732 \approx 110.848 \] \[ V \approx \frac{110.848 - 48}{13} = \frac{62.848}{13} \approx 4.835\, \text{см}^3 \]

Ответ примерно равен 4.84 см³.