В прямом параллелепипеде стороны основания 1 см и 2 см образуют угол 30°. боковая поверхность равна 16 см². найдите его объем

Рассмотрим задачу внимательно. В прямом параллелепипеде основание — это прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см, образующими угол 30°. Боковая поверхность равна 16 см². Требуется найти объем. Шаг 1. Обозначим переменные: - Пусть высота параллелепипеда — \(h\). - Пусть стороны основания: \(a = 1\,\text{см}\) и \(b = 2\,\text{см}\). - Угол между сторонами основания: \(30^\circ\). Шаг 2. Определим площадь основания: \[ S_{основания} = a \times b = 1 \times 2 = 2\,\text{см}^2 \] Шаг 3. Важно понять, что значит, что стороны основания образуют угол 30°. То есть, одна сторона расположена по горизонтали, а вторая — под углом 30° к ней. Чтобы вычислить боковую поверхность, нужно понять, какие грани образуются. Шаг 4. Обозначим стороны основания так: - \(a = 1\,\text{см}\) — длина стороны, которая идет вдоль горизонтальной оси. - \(b = 2\,\text{см}\) — длина стороны, которая под углом 30°, то есть, если она наклонена. Рассмотрим боковые поверхности, они образуются вертикальными гранями, соединяющими верх и низ. Поскольку боковая поверхность равна 16 см², и она складывается из четырех прямоугольных поверхностей, то: \[ \text{Боковая поверхность} = 2 \times (a \times h) + 2 \times (\text{длина наклоненной стороны} \times h) \] Но так как сторона \(b\) наклонена под углом 30°, она "проецируется" на горизонталь, и её проекция равна \(b \cos 30^\circ\). Шаг 5. Вычислим длину наклоненной стороны, исходя из ее положения. При этом, боковые поверхности образуют стороны, которые по сути имеют площади: - Основание вдоль стороны \(a\): площадь боковой поверхности \(= a \times h\) - Основание вдоль наклонной стороны: длина наклонной стороны \(b_{накл}\) — это то, что нам нужно найти, чтобы понять боковые грани. Допустим, что высота параллелепипеда — \(h\). Тогда боковая поверхность состоит из двух прямоугольников: - Один вдоль стороны \(a\) с высотой \(h\): площадь \(a \times h = 1 \times h\) - Другой вдоль наклонной стороны с длиной \(b_{накл}\): площадь \(b_{накл} \times h\) Поскольку боковая поверхность равна 16 см², то: \[ 2 \times (a \times h) + 2 \times (b_{накл} \times h) = 16 \] Используя \(a=1\), получим: \[ 2 \times 1 \times h + 2 \times b_{накл} \times h = 16 \] \[ 2h + 2b_{накл}h = 16 \] \[ h(2 + 2b_{накл}) = 16 \] \[ h(2(1 + b_{накл})) = 16 \] Шаг 6. Определим \(b_{накл}\) через геометрию. - Поскольку основание — это фигура с одной стороной, наклоненной под углом 30°, то: \[ b_{накл} = b / \cos 30^\circ = 2 / \cos 30^\circ \] Значение \(\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}\), следовательно: \[ b_{накл} = 2 / (\sqrt{3}/2) = 2 \times (2 / \sqrt{3}) = 4 / \sqrt{3} \] Шаг 7. Вернемся к уравнению для высоты \(h\): \[ h \times 2(1 + 4 / \sqrt{3}) = 16 \] Упростим скобки: \[ 1 + \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 4}{\sqrt{3}} \] Тогда: \[ h \times 2 \times \frac{\sqrt{3} + 4}{\sqrt{3}} = 16 \] Или: \[ h \times \frac{2(\sqrt{3} + 4)}{\sqrt{3}} = 16 \] Решим относительно \(h\): \[ h = \frac{16 \times \sqrt{3}}{2(\sqrt{3} + 4)} = \frac{8 \sqrt{3}}{\sqrt{3} + 4} \] Можно оставить так или упростить, умножив числитель и знаменатель на \(\sqrt{3} - 4\): \[ h = \frac{8 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 4)}{(\sqrt{3} + 4)(\sqrt{3} - 4)} = \frac{8 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 4)}{3 - 16} = \frac{8 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 4)}{-13} \] Раскроем numerator: \[ 8 \sqrt{3} (\sqrt{3} - 4) = 8 \sqrt{3} \times \sqrt{3} - 8 \sqrt{3} \times 4 = 8 \times 3 - 32 \sqrt{3} = 24 - 32 \sqrt{3} \] Тогда: \[ h = \frac{24 - 32 \sqrt{3}}{-13} \] Можно вынести минус: \[ h = - \frac{24 - 32 \sqrt{3}}{13} = \frac{32 \sqrt{3} - 24}{13} \] Это значение высоты. Шаг 8. Объем параллелепипеда: \[ V = S_{основания} \times h = 2 \times h \] Подставим \(h\): \[ V = 2 \times \frac{32 \sqrt{3} - 24}{13} = \frac{2 (32 \sqrt{3} - 24)}{13} = \frac{64 \sqrt{3} - 48}{13} \] Ответ: **Объем** равен \[ \boxed{\frac{64 \sqrt{3} - 48}{13} \text{ см}^3} \] Это окончательный ответ, выраженный в точных числах. Если нужно, можно приблизительно вычислить: \[ \sqrt{3} \approx 1.732 \] \[ 64 \times 1.732 \approx 110.848 \] \[ V \approx \frac{110.848 - 48}{13} = \frac{62.848}{13} \approx 4.835\, \text{см}^3 \] **Ответ примерно равен 4.84 см³**.