Исследование функции с помощью производной и построение графика y=1/2x⁴-x²

Конечно! Давайте подробно разберем задачу по исследованию функции \( y = \frac{1}{2}x^4 - x^2 \), используя производную, и построение ее графика. --- ### Шаг 1. Найдете первую производную функции Исходная функция: \[ y = \frac{1}{2}x^4 - x^2 \] Производная по \( x \): \[ dy/dx = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2}x^4 \right) - \frac{d}{dx} (x^2) \] Используем правила дифференцирования: \[ dy/dx = \frac{1}{2} \cdot 4x^3 - 2x = 2x^3 - 2x \] --- ### Шаг 2. Найдите критические точки Критические точки — это точки, где первая производная равна нулю или не существует. Решаем: \[ 2x^3 - 2x = 0 \] Выносим фактор: \[ 2x (x^2 - 1) = 0 \] Равно нулю: \[ 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \] или \[ x^2 - 1 = 0 \Rightarrow x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] Критические точки: \(\boxed{x = -1, 0, 1}\) --- ### Шаг 3. Определите знак первой производной — признаки возрастания и убывания Исследуем знак \( dy/dx = 2x^3 - 2x \). Можно упростить: \[ dy/dx = 2x(x^2 - 1) \] Подставляем значения вокруг критических точек: - При \( x < -1 \), например \( x = -2 \): \[ dy/dx = 2 \cdot (-2) \left(4 - 1\right) = -4 \cdot 3 = -12 < 0 \] следовательно, на \( (-\infty, -1) \) функция убывает. - Между \( -1 \) и 0, например \( x = -0.5 \): \[ dy/dx = 2 \cdot (-0.5) \left( 0.25 - 1 \right) = -1 \cdot (-0.75) = 0.75 > 0 \] функция возрастает на \( (-1, 0) \). - Между 0 и 1, например \( x = 0.5 \): \[ dy/dx = 2 \cdot 0.5 (0.25 - 1) = 1 \cdot (-0.75) = -0.75 < 0 \] функция убывает на \( (0, 1) \). - \( x > 1 \), например \( x = 2 \): \[ dy/dx = 2 \cdot 2 (4 - 1) = 4 \cdot 3 = 12 > 0 \] функция возрастает на \( (1, \infty) \). --- ### Шаг 4. Определите экстремумы - В точке \( x = -1 \): знак меняется с отрицательного на положительный → **минимум**. - В точке \( x = 0 \): знак меняется с положительного на отрицательный → **максимум**. - В точке \( x = 1 \): знак меняется с отрицательного на положительный → **минимум**. Найдем значения функции в этих точках: - \( y(-1) = \frac{1}{2} \cdot (-1)^4 - (-1)^2 = \frac{1}{2} \cdot 1 - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \) - \( y(0) = \frac{1}{2} \cdot 0 - 0 = 0 \) - \( y(1) = \frac{1}{2} \cdot 1 - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2} \) --- ### Шаг 5. Исследуйте поведение функции на бесконечности - При \( x \to \pm \infty \): \[ y \sim \frac{1}{2}x^4 \to +\infty \] Функция стремится к бесконечности при больших по модулю \( x \). --- ### Итоговое исследование функции: - **Критические точки:** \( x = -1, 0, 1 \) - **Экстремумы:** - Минимум: при \( x = -1 \), \( y = -\frac{1}{2} \) - Максимум: при \( x = 0 \), \( y = 0 \) - Минимум: при \( x = 1 \), \( y = -\frac{1}{2} \) - **Области возрастания:** \( (-1, 0) \), \( (1, \infty) \) - **Области убывания:** \( (-\infty, -1) \), \( (0, 1) \) --- ### Шаг 6. Построение графика 1. Начертите оси координат. 2. Отметьте критические точки: \( (-1, -0.5) \), \( (0, 0) \), \( (1, -0.5) \). 3. Учтите, что при больших \( |x| \), функция стремится к \( +\infty \). 4. Нарисуйте график, проходящий через эти точки, с учетом тангенциальных наклонов (возрастание/убывание). --- Если нужно, я могу помочь с построением графика или уточнением каких-либо моментов!