Рассмотрим задачу тщательно и пошагово. Обозначим:
- ( v_1 ) — скорость первого автомобилиста (она больше 40 км/ч).
- ( S ) — общий путь от А до В.
- ( t_1 ) — время, за которое проехал первый автомобилист.
- ( t_2 ) — время, за которое проехал второй автомобилист.
Из условий:
- Первый автомобилист ехал с постоянной скоростью ( v_1 ), значит:
[
t_1 = \frac{S}{v_1}
]
- Второй автомобилист ехал с разными скоростями: в первую половину пути со скоростью (\ v_2 ), во вторую половину — со скоростью 66 км/ч. Причём:
[
v_2 = v_1 - 11
]
- Время прохождения первой половины пути (длина ( \frac{S}{2} )):
[
t_{2,1} = \frac{\frac{S}{2}}{v_2} = \frac{S}{2 v_2}
]
- Время прохождения второй половины пути (длина ( \frac{S}{2} )):
[
t_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{66} = \frac{S}{2 \times 66} = \frac{S}{132}
]
Общее время второго автомобилиста:
[
t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \frac{S}{2 v_2} + \frac{S}{132}
]
Задача утверждает, что оба автомобилиста прибыли одновременно, то есть ( t_1 = t_2 ):
[
\frac{S}{v_1} = \frac{S}{2 v_2} + \frac{S}{132}
]
Можно сократить уравнение на ( S ), поскольку ( S \neq 0 ):
[
\frac{1}{v_1} = \frac{1}{2 v_2} + \frac{1}{132}
]
Подставим ( v_2 = v_1 - 11 ):
[
\frac{1}{v_1} = \frac{1}{2 (v_1 - 11)} + \frac{1}{132}
]
Теперь решим это уравнение относительно ( v_1 ).
Объединим левую и правую части:
[
\frac{1}{v_1} = \frac{1}{2 (v_1 - 11)} + \frac{1}{132}
]
Перенесем всё в левую сторону:
[
\frac{1}{v_1} - \frac{1}{2 (v_1 - 11)} = \frac{1}{132}
]
Приведем левую часть к общему знаменателю:
[
\frac{2 (v_1 - 11) - v_1}{2 v_1 (v_1 - 11)} = \frac{1}{132}
]
Раскроем скобки в числителе:
[
\frac{2 v_1 - 22 - v_1}{2 v_1 (v_1 - 11)} = \frac{1}{132}
]
Упростим числитель:
[
\frac{v_1 - 22}{2 v_1 (v_1 - 11)} = \frac{1}{132}
]
Перенесем слагаемые:
[
\frac{v_1 - 22}{2 v_1 (v_1 - 11)} = \frac{1}{132}
]
Перемножим обе части на знаменатели:
[
(v_1 - 22) \times 132 = 2 v_1 (v_1 - 11)
]
Раскроем скобки:
[
132 (v_1 - 22) = 2 v_1^2 - 22 v_1
]
Раскроем левую часть:
[
132 v_1 - 132 \times 22 = 2 v_1^2 - 22 v_1
]
Вычислим (132 \times 22 ):
[
132 \times 22 = (132 \times 20) + (132 \times 2) = 2640 + 264 = 2904
]
Итак, уравнение:
[
132 v_1 - 2904 = 2 v_1^2 - 22 v_1
]
Перенесем все в левую сторону:
[
2 v_1^2 - 22 v_1 - 132 v_1 + 2904 = 0
]
Объединим подобные слагаемые:
[
2 v_1^2 - 154 v_1 + 2904 = 0
]
Разделим всё уравнение на 2:
[
v_1^2 - 77 v_1 + 1452 = 0
]
Теперь решим это квадратное уравнение. Дискриминант:
[
D = (77)^2 - 4 \times 1 \times 1452
]
Вычислим:
[
77^2 = 5929
]
[
4 \times 1452 = 5808
]
Следовательно,
[
D = 5929 - 5808 = 121
]
Корень из дискриминанта:
[
\sqrt{D} = \sqrt{121} = 11
]
Решения уравнения:
[
v_1 = \frac{77 \pm 11}{2}
]
Варианты:
- ( v_1 = \frac{77 + 11}{2} = \frac{88}{2} = 44 )
- ( v_1 = \frac{77 - 11}{2} = \frac{66}{2} = 33 )
Но условие говорит, что скорость первого автомобилиста больше 40 км/ч. Следовательно, подходящее решение:
[
v_1 = 44 , \text{км/ч}
]
Ответ: скорость первого автомобилиста — 44 км/ч.
