Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого…
Из А в В одновременно выехали два автомобилиста. Первый проехал с постоянной скоростью весь путь. Второй проехал первую половину пути со скоростью, меньшей скорости первого автомобилиста на 11 км/ч, а вторую половину пути проехал со скоростью 66 км/ч, в результате чего прибыл в В одновременно с первым авто-мобилистом. Найдите скорость первого автомобилиста, если известно, что она больше 40 км/ч.
Рассмотрим задачу тщательно и пошагово. Обозначим:
- \( v_1 \) — скорость первого автомобилиста (она больше 40 км/ч).
- \( S \) — общий путь от А до В.
- \( t_1 \) — время, за которое проехал первый автомобилист.
- \( t_2 \) — время, за которое проехал второй автомобилист.
Из условий:
- Первый автомобилист ехал с постоянной скоростью \( v_1 \), значит:
\[ t_1 = \frac{S}{v_1} \]
- Второй автомобилист ехал с разными скоростями: в первую половину пути со скоростью \(\ v_2 \), во вторую половину — со скоростью 66 км/ч. Причём:
\[ v_2 = v_1 - 11 \]
- Время прохождения первой половины пути (длина \( \frac{S}{2} \)):
\[ t_{2,1} = \frac{\frac{S}{2}}{v_2} = \frac{S}{2 v_2} \]
- Время прохождения второй половины пути (длина \( \frac{S}{2} \)):
\[ t_{2,2} = \frac{\frac{S}{2}}{66} = \frac{S}{2 \times 66} = \frac{S}{132} \]
Общее время второго автомобилиста:
\[ t_2 = t_{2,1} + t_{2,2} = \frac{S}{2 v_2} + \frac{S}{132} \]
Задача утверждает, что оба автомобилиста прибыли одновременно, то есть \( t_1 = t_2 \):
\[ \frac{S}{v_1} = \frac{S}{2 v_2} + \frac{S}{132} \]
Можно сократить уравнение на \( S \), поскольку \( S \neq 0 \):
\[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{2 v_2} + \frac{1}{132} \]
Подставим \( v_2 = v_1 - 11 \):
\[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{2 (v_1 - 11)} + \frac{1}{132} \]
Теперь решим это уравнение относительно \( v_1 \).
Объединим левую и правую части:
\[ \frac{1}{v_1} = \frac{1}{2 (v_1 - 11)} + \frac{1}{132} \]
Перенесем всё в левую сторону:
\[ \frac{1}{v_1} - \frac{1}{2 (v_1 - 11)} = \frac{1}{132} \]
Приведем левую часть к общему знаменателю:
\[ \frac{2 (v_1 - 11) - v_1}{2 v_1 (v_1 - 11)} = \frac{1}{132} \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ \frac{2 v_1 - 22 - v_1}{2 v_1 (v_1 - 11)} = \frac{1}{132} \]
Упростим числитель:
\[ \frac{v_1 - 22}{2 v_1 (v_1 - 11)} = \frac{1}{132} \]
Перенесем слагаемые:
\[ \frac{v_1 - 22}{2 v_1 (v_1 - 11)} = \frac{1}{132} \]
Перемножим обе части на знаменатели:
\[ (v_1 - 22) \times 132 = 2 v_1 (v_1 - 11) \]
Раскроем скобки:
\[ 132 (v_1 - 22) = 2 v_1^2 - 22 v_1 \]
Раскроем левую часть:
\[ 132 v_1 - 132 \times 22 = 2 v_1^2 - 22 v_1 \]
Вычислим \(132 \times 22 \):
\[ 132 \times 22 = (132 \times 20) + (132 \times 2) = 2640 + 264 = 2904 \]
Итак, уравнение:
\[ 132 v_1 - 2904 = 2 v_1^2 - 22 v_1 \]
Перенесем все в левую сторону:
\[ 2 v_1^2 - 22 v_1 - 132 v_1 + 2904 = 0 \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ 2 v_1^2 - 154 v_1 + 2904 = 0 \]
Разделим всё уравнение на 2:
\[ v_1^2 - 77 v_1 + 1452 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение. Дискриминант:
\[ D = (77)^2 - 4 \times 1 \times 1452 \]
Вычислим:
\[ 77^2 = 5929 \]
\[ 4 \times 1452 = 5808 \]
Следовательно,
\[ D = 5929 - 5808 = 121 \]
Корень из дискриминанта:
\[ \sqrt{D} = \sqrt{121} = 11 \]
Решения уравнения:
\[ v_1 = \frac{77 \pm 11}{2} \]
Варианты:
- \( v_1 = \frac{77 + 11}{2} = \frac{88}{2} = 44 \)
- \( v_1 = \frac{77 - 11}{2} = \frac{66}{2} = 33 \)
Но условие говорит, что скорость первого автомобилиста больше 40 км/ч. Следовательно, подходящее решение:
\[ v_1 = 44 \, \text{км/ч} \]
Ответ: скорость первого автомобилиста — 44 км/ч.
