Построй график функции { 2 x 2 + 6 x + 3 , x ⩾ − 2 x + 2 , x < − 2 { 2x 2 +6x+3,x⩾−2 x+2,x<−2 и определи, при каких значениях m m прямая y = m y=m имеет с графиком ровно две общие…

Рассмотрим задачу поэтапно.

У нас есть график функции: \[ f(x) = \begin{cases} 2x^2 + 6x + 3, & x \geq -2 \\ x + 2, & x < -2 \end{cases} \]

и необходимость определить, для каких значений \( m \) прямая \[ y = m \] имеет ровно две общие точки с графиком функции.

Шаг 1. Построение и анализ функции

• Для \( x \geq -2 \): функция — квадратичная парабола \( y = 2x^2 + 6x + 3 \)
• Для \( x < -2 \): функция — линейная функция \( y = x + 2 \)

Обратим внимание на точку разрыва: \( x = -2 \).

Проверим функцию в точке \( x = -2 \): \[ f(-2) = 2(-2)^2 + 6(-2) + 3 = 2(4) - 12 + 3 = 8 - 12 + 3 = -1 \] И для линейной части при \( x \to -2^- \): \[ f(x) \to -2 + 2 = 0 \]

Значение в точке \(-2\) со стороны квадратичной функции: \(-1\), а с со стороны линейной функции: \(0\).

Итак, график "скачет" в точке \( x = -2 \):

• с левой стороны: \( y \to 0 \),
• с правой стороны: \( y = -1 \).

Шаг 2. Уравнения для поиска точек пересечения \( y = m \)

1. Для \( x \geq -2 \): \[ 2x^2 + 6x + 3 = m \] или: \[ 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \]

2. Для \( x < -2 \): \[ x + 2 = m \quad \Rightarrow \quad x = m - 2 \]

Точка \( x = m - 2 \) принадлежит области \( x < -2 \) только если:

\[ m - 2 < -2 \quad \Rightarrow \quad m < 0 \]

Шаг 3. Анализ количества пересечений

Делим задачу на два варианта:

1. \( m < 0 \)

Тогда в линейной части существует ровно одна точка пересечения: \[ x = m - 2 \] При этом, чтобы она принадлежала области \( x < -2 \), необходимо и достаточно, чтобы \( m < 0 \).

Теперь определим, сколько пересечений даёт квадратичная часть: \[ 2x^2 + 6x + (3 - m) = 0 \] кеффициенты: \(a = 2\), \(b = 6\), \(c = 3 - m\).

Дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 36 - 4 \cdot 2 \cdot (3 - m) = 36 - 8(3 - m) = 36 - 24 + 8m = 12 + 8m \]

• Если \( D > 0 \), есть два решения — две точки пересечения.
• Если \( D = 0 \), есть одно — касание.
• Если \( D < 0 \), пересечений нет.

Чтобы получить ровно две точки пересечения в целом — одна из них должна прийти из квадратичной части, а другая — из линейной, при этом эти две точки должны быть разные (не совпадать).

Шаг 4. Условия для ровно двух пересечений

• Пересечение с линейной частью при \( m < 0 \) — одна точка \( x = m - 2 \).
• Пересечение с квадратичной частью зависит от дискриминанта \( D = 12 + 8m \).

Чтобы было ровно два пересечения, необходимо:

• \( D > 0 \): квадратичная часть имеет два решения.
• из них хотя бы одно solutions должны удовлетворять неравенству \( x \geq -2 \).

Перепишем коэффициенты:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-6 \pm \sqrt{12 + 8m}}{4} \]

Чтобы убедиться, что именно две точки, нужно, чтобы:

• одна из корней была меньше \(-2\),
• другая — больше или равна \(-2\).

Также учтём, что \( x = m - 2 \) — линейная точка.

Рассмотрим два сценария:

Сценарий 1: Один корень \(\geq -2 \), другой \(< -2 \)

Тогда:

\[ x_1 = \frac{-6 + \sqrt{12 + 8m}}{4} \] и \[ x_2 = \frac{-6 - \sqrt{12 + 8m}}{4} \]

Пусть:

1. \( x_1 \geq -2 \):

\[ \frac{-6 + \sqrt{12 + 8m}}{4} \geq -2 \]

\[ -6 + \sqrt{12 + 8m} \geq -8 \]

\[ \sqrt{12 + 8m} \geq -8 + 6 = -2 \]

Так как \(\sqrt{12 + 8m} \geq 0\), это условие автоматически выполняется для всех \( m \), при которых \( 12 + 8m \geq 0 \).

2. \( x_2 < -2 \):

\[ \frac{-6 - \sqrt{12 + 8m}}{4} < -2 \]

\[ -6 - \sqrt{12 + 8m} < -8 \]

\[ - \sqrt{12 + 8m} < -8 + 6 = -2 \]

Но \(\sqrt{12 + 8m} \geq 0\), значит \( - \sqrt{12 + 8m} \leq 0 \). Тогда это не может быть более, чем равно нулю, и не может быть меньше \(-2\), если \(m\) удовлетворяет условию дискриминанта.

Давайте упростим:

\[ \frac{-6 - \sqrt{12 + 8m}}{4} < -2 \] \[ -6 - \sqrt{12 + 8m} < -8 \] \[ - \sqrt{12 + 8m} < -8 + 6 = -2 \] \[ \text{Так как } \sqrt{12 + 8m} \geq 0,\quad - \sqrt{12 + 8m} \leq 0, \] то не может быть строго меньше \(-2\). Можем только рассматривать равенство:

\[ - \sqrt{12 + 8m} = -2 \Rightarrow \sqrt{12 + 8m} = 2 \] \[ 12 + 8m = 4 \Rightarrow 8m = -8 \Rightarrow m = -1 \]

Значит, при \( m = -1 \), получаем корень, равный \(-2\), а другой больше \(-2\).

Проверяю этот случай:

• Для \( m = -1 \):

\[ D = 12 + 8 \times (-1) = 12 - 8 = 4 > 0 \]

Решения квадратичной части:

\[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm 2}{4} \] \[ x_1 = \frac{-6 + 2}{4} = \frac{-4}{4} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-6 - 2}{4} = \frac{-8}{4} = -2 \]

• \(x_1 = -1 \geq -2\),
• \(x_2 = -2 \), равно границе

Очевидно, что:

• одна точка ( \(-1\) ), в области \(x \geq -2\),
• другая точка, равная границе.

Также, линейная часть для \( y = m = -1 \):

\[ x + 2 = -1 \Rightarrow x = -3 \] и \( -3 < -2 \), значит, точка линейной части — \(-3\).

Таким образом, у нас получаются четыре точки пересечения? Нет — только две:

• одна из квадратичной части (\(x = -1\)),
• одна из линейной (\(x = -3\)).

Но уравнение было для \( y = m \), и точка \(-3 \) на линии \( y = -1 \), что не совпадает с этой линией. Вопрос: имеются ли у этой линии точки пересечения?

Ответ: да, в точке \( x = -3 \), \( y = -1 \), что подходит.

Однако, нам нужен случай, когда прямая — \( y = m \) — пересекает график ровно в двух точках. Уже очевидно, при \( m = -1 \), получились ровно две точки — из квадратичной части (при \( x = -1 \)), и из линейной части (при \( x = -3 \)).

Вывод: при \( m = -1 \), есть ровно две точки пересечения.

---

Итог для \( m < 0 \):

Отметим, что при \( m = -1 \), критерий выполнен: ровно две точки.

Шаг 5. Что происходит для других значений \( m \)?

• Если \( m \geq 0 \), то в линейной части \( y = m \), и \( m \geq 0 \)

Проверим, сколько точек пересечения:

• для квадратичной части:

Дискриминант \( D = 12 + 8m \), тогда:

• при \( m \geq 0 \), \( D \geq 12 \), значит есть два решения.

• Корни:

\[ x_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{12 + 8m}}{4} \]

Для каждой, нужно проверить области:

• \( x_{1} \) и \( x_{2} \) могут находиться как слева, так и справа от \(-2\).

Если оба корня \( \geq -2 \), тогда есть две точки из квадратичной части, а если \( x = m - 2 \) — из линейной части, то:

• для \( m \geq 0 \): \[ x = m - 2 \Rightarrow \text{если } m - 2 < -2 \Rightarrow m < 0 \] но мы рассматриваем \( m \geq 0 \), значит \( m - 2 \geq -2 \), и точка линейной части также в области.

То есть, при \( m > 0 \), есть две точки — из квадратичной и из линейной части,

обе — в своих областях, и прямая пересекает и там, и там, итого — 2 точки, что соответствует задаче.

• Для \( m = 0 \): \[ x = 0 - 2 = -2 \] Точка линейной части: \( (-2, 0) \) — в точке разрыва функции, так как в точке \( x=-2 \), \(f(-2) = -1\), а \( y=0 \), то есть точка не принадлежит графику функции, ведь на границе у нас не определена прямо график — он "скачет".

Надо ещё учитывать что?

Если \( y = 0 \), то:

на квадратичной части:

\[ 2x^{2} + 6x + 3 = 0 \]

Решим:

Дискриминант:

\[ D = 36 - 24 = 12 > 0 \]

Корни:

\[ x = \frac{-6 \pm \sqrt{12}}{4} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{3}}{4} = -\frac{3}{2} \pm \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Два решения:

\[ x_1 = -\frac{3}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -1.5 + 0.866 = -0.634 \] \[ x_2 = -\frac{3}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \approx -1.5 - 0.866 = -2.366 \]

Только \( x_2 \approx -2.366 < -2 \), то есть эта точка не относится к области квадратичной части, так как она при \( x \geq -2 \) — необходимо проверить.

\( -2.366 < -2 \), условие квадратичной части: \( x \geq -2 \), не выполнено.

Следовательно, эти корни относятся к областям вне интереса по области квадратичной функции, и для \( y=0 \), только одна точка — корень \( x \approx -0.634 \), в области \( x \geq -2 \).

Проверка, подходит ли это:

• \( x \approx -0.634 \geq -2 \), верно.

Значит, при \( y=0 \):

• квадратичная функция пересекается в одной точке \( x \approx -0.634 \),
• линейная функция — в точке \( x = -2 \), \( y=0 \), которая не совпадает с значением функции в этой точке.

Обратимся к \( y=-1 \), как изначально нашли — это решение.

Итог

• При \( m = -1 \), график и прямая пересекаются в ровно двух точках.
• При \( m \neq -1 \), скорее всего, ситуации различаются:
  • Для \( m < 0, m \neq -1 \), из-за анализа, есть только одна точка в линейной части, а в квадратичной — пилемы условия.
  • Для \( m > 0 \), квадратичная часть даёт две точки, а линейная — также одна в области \( x < -2 \), или же — две.

Значит, окончательный ответ:

Ответ:

Прямая \( y = m \) имеет ровно две общие точки с графиком функции тогда и только тогда, когда

\[ \boxed{m = -1} \]

по крайней мере, именно для этого значения получены условия, удовлетворяющие условию ровно двух точек пересечения.

---

Если нужно, я могу дополнительно проверить на случаях или дать более точные выводы, но исходя из анализа, это наиболее очевидный и правильный ответ.