Реши

Давайте подробно решим задачу: Нам даны: - \( \cos y = - \frac{8}{23} \) - диапазон \( y \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi \right) \) Требуется найти значение \( \tg \frac{y}{2} \). --- ### Шаг 1: Определить знак \( \sin y \) Поскольку \( y \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi \right) \), то: - \( y находится во втором квадранте, - в этом квадранте \( \sin y > 0 \), - \( \cos y < 0 \). Дано \( \cos y = - \frac{8}{23} \), это подходит. --- ### Шаг 2: Найти \( \sin y \) Используем основное тригонометрическое соотношение: \[ \sin^2 y + \cos^2 y = 1 \] Подставляем значение \( \cos y \): \[ \sin^2 y + \left(- \frac{8}{23}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 y + \frac{64}{529} = 1 \] Перепишем: \[ \sin^2 y = 1 - \frac{64}{529} \] Общий знаменатель — 529: \[ \sin^2 y = \frac{529}{529} - \frac{64}{529} = \frac{529 - 64}{529} = \frac{465}{529} \] Следовательно, \[ \sin y = \sqrt{\frac{465}{529}} = \frac{\sqrt{465}}{23} \] Так как \( y \) во втором квадранте, \( \sin y > 0 \): \[ \sin y = \frac{\sqrt{465}}{23} \] --- ### Шаг 3: Используем формулу половинного угла для тангенса Формула для тангенса половинного угла: \[ \tan \frac{y}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos y}{1 + \cos y}} \] Поскольку \( y \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi \right) \), то \( y/2 \) лежит в интервале: \[ \left(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right) \] На этом интервале \( \tan \frac{y}{2} > 0 \), значит выбираем положительный знак. Теперь подставляем значения: \[ \tan \frac{y}{2} = \sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{8}{23}\right)}{1 + \left(-\frac{8}{23}\right)}} \] Числитель: \[ 1 + \frac{8}{23} = \frac{23}{23} + \frac{8}{23} = \frac{31}{23} \] Знаменатель: \[ 1 - \frac{8}{23} = \frac{23}{23} - \frac{8}{23} = \frac{15}{23} \] Подставляем: \[ \tan \frac{y}{2} = \sqrt{\frac{\frac{15}{23}}{\frac{31}{23}}} = \sqrt{\frac{15}{23} \times \frac{23}{31}} = \sqrt{\frac{15}{31}} \] --- ### Итог: \[ \boxed{ \tg \frac{y}{2} = \sqrt{\frac{15}{31}} } \] или, в виде с корнем — это окончательный ответ. --- Если необходимо округлить до сотых, то: \[ \sqrt{\frac{15}{31}} \approx \sqrt{0.4839} \approx 0.696 \] ### Ответ: **\( \boxed{\tg \frac{y}{2} \approx 0.70} \)** (округлено до сотых).