реши
Давайте подробно решим задачу:
Нам даны:
- \( \cos y = - \frac{8}{23} \)
- диапазон \( y \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi \right) \)
Требуется найти значение \( \tg \frac{y}{2} \).
Шаг 1: Определить знак \( \sin y \)
Поскольку \( y \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi \right) \), то:
- \( y находится во втором квадранте, - в этом квадранте \( \sin y > 0 \),
- \( \cos y < 0 \).
Дано \( \cos y = - \frac{8}{23} \), это подходит.
Шаг 2: Найти \( \sin y \)
Используем основное тригонометрическое соотношение:
\[ \sin^2 y + \cos^2 y = 1 \]
Подставляем значение \( \cos y \):
\[ \sin^2 y + \left(- \frac{8}{23}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2 y + \frac{64}{529} = 1 \]
Перепишем:
\[ \sin^2 y = 1 - \frac{64}{529} \]
Общий знаменатель — 529:
\[ \sin^2 y = \frac{529}{529} - \frac{64}{529} = \frac{529 - 64}{529} = \frac{465}{529} \]
Следовательно,
\[ \sin y = \sqrt{\frac{465}{529}} = \frac{\sqrt{465}}{23} \]
Так как \( y \) во втором квадранте, \( \sin y > 0 \):
\[ \sin y = \frac{\sqrt{465}}{23} \]
Шаг 3: Используем формулу половинного угла для тангенса
Формула для тангенса половинного угла:
\[ \tan \frac{y}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos y}{1 + \cos y}} \]
Поскольку \( y \in \left(\frac{\pi}{2}; \pi \right) \), то \( y/2 \) лежит в интервале:
\[ \left(\frac{\pi}{4}; \frac{\pi}{2}\right) \]
На этом интервале \( \tan \frac{y}{2} > 0 \), значит выбираем положительный знак.
Теперь подставляем значения:
\[ \tan \frac{y}{2} = \sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{8}{23}\right)}{1 + \left(-\frac{8}{23}\right)}} \]
Числитель:
\[ 1 + \frac{8}{23} = \frac{23}{23} + \frac{8}{23} = \frac{31}{23} \]
Знаменатель:
\[ 1 - \frac{8}{23} = \frac{23}{23} - \frac{8}{23} = \frac{15}{23} \]
Подставляем:
\[ \tan \frac{y}{2} = \sqrt{\frac{\frac{15}{23}}{\frac{31}{23}}} = \sqrt{\frac{15}{23} \times \frac{23}{31}} = \sqrt{\frac{15}{31}} \]
Итог:
\[ \boxed{ \tg \frac{y}{2} = \sqrt{\frac{15}{31}} } \]
или, в виде с корнем — это окончательный ответ.
Если необходимо округлить до сотых, то:
\[ \sqrt{\frac{15}{31}} \approx \sqrt{0.4839} \approx 0.696 \]
Ответ:
\( \boxed{\tg \frac{y}{2} \approx 0.70} \) (округлено до сотых).
