При каких значениях параметра с функция y=2x^3-6x возрастает на отрезке [2с-6;10с+10]. Ответ (бесконечность записывай как Б с соответствующим знаком)

Рассмотрим функцию: \[ y = 2x^3 - 6x \] Чтобы определить, на каких интервалах функция возрастает, нужно найти её производную и изучить знак её. ### Шаг 1: Найдем производную функции \[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x) = 6x^2 - 6 = 6(x^2 - 1) \] ### Шаг 2: Найдем критические точки Критические точки — это значения \(x\), при которых \(y' = 0\): \[ 6(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \] ### Шаг 3: Анализ знака производной Рассмотрим знак \(y'\) на промежутках: - \( (-\infty, -1) \) - \((-1, 1)\) - \((1, +\infty)\) Подставим значения из каждого интервала: - Например, для \(x = -2\): \[ y' = 6((-2)^2 - 1) = 6(4 - 1) = 6 \times 3 = 18 > 0 \] Значит, на \((-\infty, -1)\) функция возрастает. - Для \(x = 0\): \[ y' = 6(0 - 1) = -6 < 0 \] Значит, на \((-1, 1)\) функция убывает. - Для \(x = 2\): \[ y' = 6(4 - 1) = 18 > 0 \] Значит, на \((1, +\infty)\) функция возрастает. ### Итог: Функция возрастает на интервалах: \[ (-\infty, -1) \quad \text{и} \quad (1, +\infty) \] ### Шаг 4: Условие задачи Функция возрастает на отрезке \([2c - 6;\ 10c + 10]\). Чтобы она возрастала на этом отрезке, весь отрезок должен полностью лежать в интервалах, где \( y' > 0 \), то есть: - Отрезок должен полностью содержаться в \((- \infty, -1)\), или - полностью в \((1, +\infty)\). Рассмотрим оба варианта: --- ### Вариант 1: отрезок полностью в \((- \infty, -1)\) Тогда: \[ 2c - 6 \leq -1 \] \[ 2c \leq 5 \] \[ c \leq \frac{5}{2} = 2.5 \] и \[ 10c + 10 \leq -1 \] \[ 10c \leq -11 \] \[ c \leq -1.1 \] С учетом обеих неравенств: \[ c \leq -1.1 \] --- ### Вариант 2: отрезок полностью в \((1, +\infty)\) Тогда: \[ 2c - 6 \geq 1 \] \[ 2c \geq 7 \] \[ c \geq 3.5 \] и \[ 10c + 10 \geq 1 \] Это всегда верно при \( c \geq -1 \), так как при \( c \geq 3.5 \): \[ 10c + 10 \geq 10 \times 3.5 + 10 = 45 \gg 1 \] поэтому для этого варианта условие достаточно: \[ c \geq 3.5 \] --- ### Итог: - Функция возрастает на отрезке \([2c - 6; 10c + 10]\) тогда и только тогда, когда весь отрезок лежит либо в области, где она возрастает (правые или левые ветви бахи), либо в области убывания одновременно, что невозможно, поскольку на интервале \((-1,1)\) она убывает. - Ответ: \[ c \leq -1.1 \quad \text{или} \quad c \geq 3.5 \] или, если традиционно записывать бесконечность как Б: \[ c \in (-\infty, -1.1] \cup [3.5, Б) \] где Б — бесконечность.