При каких значениях параметра с функция y=2x^3-6x возрастает на отрезке [2с-6;10с+10]. Ответ (бесконечность записывай как Б с соответствующим знаком)
Рассмотрим функцию:
\[ y = 2x^3 - 6x \]
Чтобы определить, на каких интервалах функция возрастает, нужно найти её производную и изучить знак её.
Шаг 1: Найдем производную функции
\[ y' = \frac{d}{dx}(2x^3 - 6x) = 6x^2 - 6 = 6(x^2 - 1) \]
Шаг 2: Найдем критические точки
Критические точки — это значения \(x\), при которых \(y' = 0\):
\[ 6(x^2 - 1) = 0 \] \[ x^2 - 1 = 0 \] \[ x^2 = 1 \] \[ x = \pm 1 \]
Шаг 3: Анализ знака производной
Рассмотрим знак \(y'\) на промежутках:
- \( (-\infty, -1) \)
- \((-1, 1)\)
- \((1, +\infty)\)
Подставим значения из каждого интервала:
- Например, для \(x = -2\):
\[ y' = 6((-2)^2 - 1) = 6(4 - 1) = 6 \times 3 = 18 > 0 \] Значит, на \((-\infty, -1)\) функция возрастает.
- Для \(x = 0\):
\[ y' = 6(0 - 1) = -6 < 0 \] Значит, на \((-1, 1)\) функция убывает.
- Для \(x = 2\):
\[ y' = 6(4 - 1) = 18 > 0 \] Значит, на \((1, +\infty)\) функция возрастает.
Итог:
Функция возрастает на интервалах:
\[ (-\infty, -1) \quad \text{и} \quad (1, +\infty) \]
Шаг 4: Условие задачи
Функция возрастает на отрезке \([2c - 6;\ 10c + 10]\).
Чтобы она возрастала на этом отрезке, весь отрезок должен полностью лежать в интервалах, где \( y' > 0 \), то есть:
- Отрезок должен полностью содержаться в \((- \infty, -1)\), или
- полностью в \((1, +\infty)\).
Рассмотрим оба варианта:
Вариант 1: отрезок полностью в \((- \infty, -1)\)
Тогда:
\[ 2c - 6 \leq -1 \] \[ 2c \leq 5 \] \[ c \leq \frac{5}{2} = 2.5 \]
и
\[ 10c + 10 \leq -1 \] \[ 10c \leq -11 \] \[ c \leq -1.1 \]
С учетом обеих неравенств:
\[ c \leq -1.1 \]
Вариант 2: отрезок полностью в \((1, +\infty)\)
Тогда:
\[ 2c - 6 \geq 1 \] \[ 2c \geq 7 \] \[ c \geq 3.5 \]
и
\[ 10c + 10 \geq 1 \]
Это всегда верно при \( c \geq -1 \), так как при \( c \geq 3.5 \):
\[ 10c + 10 \geq 10 \times 3.5 + 10 = 45 \gg 1 \]
поэтому для этого варианта условие достаточно:
\[ c \geq 3.5 \]
Итог:
Функция возрастает на отрезке \([2c - 6; 10c + 10]\) тогда и только тогда, когда весь отрезок лежит либо в области, где она возрастает (правые или левые ветви бахи), либо в области убывания одновременно, что невозможно, поскольку на интервале \((-1,1)\) она убывает.
Ответ:
\[ c \leq -1.1 \quad \text{или} \quad c \geq 3.5 \]
или, если традиционно записывать бесконечность как Б:
\[ c \in (-\infty, -1.1] \cup [3.5, Б) \]
где Б — бесконечность.
