В сентябре планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с февраля по сентябрь каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 285000 рублей. Сколько рублей было взято в банке, если известно, что он был полностью погашен четырьмя равными платежами ( то есть за четыре года)?

Давайте подробно разберем задачу и построим решение шаг за шагом. **Дано:** - В сентябре каждого года долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года. - Кажем год с февраля по сентябрь необходимо выплатить 285 000 рублей. - За 4 года долг полностью погашается четырьмя равными платежами. Нам нужно найти начальную сумму кредита, взятую в банке, — обозначим её \( P \). --- ### Шаг 1: Обозначим переменные - \( P_0 \) — изначально взятая сумма кредита (в сентябре первого года). - \( P_1 \) — сумма, оставшаяся после первого года и апрельской выплаты. - Аналогично \( P_2, P_3, P_4 \). Но для удобства разберем так: - В конце каждого года долг возрастает на 25% — то есть умножается на 1.25. - В февраль следующего года необходимо выплатить 285 000 рублей, чтобы снизить долг. - В конце каждого года после выплаты долг снова увеличивается на 25%. --- ### Шаг 2: Построение формулы Пусть: - \( P \) — сумма первоначального кредита (сумма, взятая в банке). Тогда ход событий за первый год: 1. В сентябре долг равен \( P \). 2. В конце года (после декабря) долг увеличивается на 25%: \( P \times 1.25 \). 3. В феврале следующего года необходимо выплатить 285 000 рублей, после чего долг уменьшится: \( P_{1} = P \times 1.25 - 285000 \). Поскольку выплаты происходят каждый год, и долг увеличивается и уменьшается по тому же принципу, повторим четыре таких цикла. --- ### Шаг 3: Построим рекуррентное соотношение Для каждого года: \[ P_{n} = (P_{n-1} \times 1.25) - 285000 \] где \( P_0 = P \), начальная сумма. Обратим внимание, что после 4-х выплат долг полностью погашен, то есть: \[ P_{4} = 0 \] Расчитаем: \[ P_{1} = 1.25 P - 285000 \] \[ P_{2} = 1.25 P_{1} - 285000 = 1.25 (1.25 P - 285000) - 285000 \] \[ P_{3} = 1.25 P_{2} - 285000 \] \[ P_{4} = 1.25 P_{3} - 285000 = 0 \] --- ### Шаг 4: Раскроем сумму Рассчитаем \( P_{3} \): \[ P_{3} = 1.25 P_{2} - 285000 \] Аналогично, подставим \( P_{2} \): \[ P_{2} = 1.25 P_{1} - 285000 \] и \( P_{1} = 1.25 P - 285000 \). Пояснение: чтобы не усложнять, введем формулу для \( P_{n} \): \[ P_{n} = (1.25)^n P - 285000 \times \left( (1.25)^{n-1} + (1.25)^{n-2} + \dots + 1 \right) \] Обратите внимание, что: \[ P_{n} = (1.25)^n P - 285000 \sum_{k=0}^{n-1} (1.25)^k \] Итак, для \( P_4 = 0 \): \[ 0 = (1.25)^4 P - 285000 \sum_{k=0}^{3} (1.25)^k \] Решим это уравнение относительно \( P \). --- ### Шаг 5: Вычислим сумму геометрической прогрессии \[ \sum_{k=0}^{3} (1.25)^k = \frac{(1.25)^4 - 1}{1.25 - 1} \] Посчитаем: \[ (1.25)^4 = (1.25)^2 \times (1.25)^2 \] \[ (1.25)^2 = 1.5625 \] \[ (1.25)^4 = 1.5625 \times 1.5625 = 2.44140625 \] Подставим: \[ \sum_{k=0}^{3} (1.25)^k = \frac{2.44140625 - 1}{0.25} = \frac{1.44140625}{0.25} = 5.765625 \] --- ### Шаг 6: Найдём начальную сумму \( P \) Подставим в уравнение: \[ 0 = 2.44140625 P - 285000 \times 5.765625 \] Вычислим произведение: \[ 285000 \times 5.765625 \] Разделим это на части для точности: \[ 285000 \times 5.765625 \approx \] или более точно: \[ 285000 \times 5.765625 = 285000 \times \left(5 + 0.765625\right) = 285000 \times 5 + 285000 \times 0.765625 \] Вычислим: \[ 285000 \times 5 = 1,425,000 \] и \[ 285000 \times 0.765625 \approx 285000 \times \frac{123}{160} \text{ (заменяют 0.765625 на дробь)}. \] Но проще — сделаем это прямо: \[ 285000 \times 0.765625 = \text{около } 218,828.125 \] Подробнее: \[ 285000 \times 0.7 = 199,500 \] \[ 285000 \times 0.065625 = 18,703.125 \] Итак, сумма: \[ 199,500 + 18,703.125 = 218,203.125 \] Общий результат: \[ 1,425,000 + 218,203.125 \approx 1,643,203.125 \] **Итак:** \[ 0 = 2.44140625 P - 1,643,203.125 \] Отсюда: \[ 2.44140625 P = 1,643,203.125 \] \[ P = \frac{1,643,203.125}{2.44140625} \approx 673,000 \] --- ### **Ответ:** **Первоначальная сумма кредита, взятая в банке, составляет примерно 673 000 рублей.** Если нужны более точные вычисления, можно использовать калькулятор, но результат получается примерно так.