В сентябре планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы: — каждый январь долг возрастает на 25% по сравнению с концом предыдущего года; — с…

Давайте подробно разберем задачу и построим решение шаг за шагом.

Дано:

• В сентябре каждого года долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года.
• Кажем год с февраля по сентябрь необходимо выплатить 285 000 рублей.
• За 4 года долг полностью погашается четырьмя равными платежами.

Нам нужно найти начальную сумму кредита, взятую в банке, — обозначим её \( P \).

---

Шаг 1: Обозначим переменные

• \( P_0 \) — изначально взятая сумма кредита (в сентябре первого года).
• \( P_1 \) — сумма, оставшаяся после первого года и апрельской выплаты.
• Аналогично \( P_2, P_3, P_4 \).

Но для удобства разберем так:

• В конце каждого года долг возрастает на 25% — то есть умножается на 1.25.
• В февраль следующего года необходимо выплатить 285 000 рублей, чтобы снизить долг.
• В конце каждого года после выплаты долг снова увеличивается на 25%.

---

Шаг 2: Построение формулы

Пусть:

• \( P \) — сумма первоначального кредита (сумма, взятая в банке).

Тогда ход событий за первый год:

1. В сентябре долг равен \( P \).
2. В конце года (после декабря) долг увеличивается на 25%: \( P \times 1.25 \).
3. В феврале следующего года необходимо выплатить 285 000 рублей, после чего долг уменьшится: \( P_{1} = P \times 1.25 - 285000 \).

Поскольку выплаты происходят каждый год, и долг увеличивается и уменьшается по тому же принципу, повторим четыре таких цикла.

---

Шаг 3: Построим рекуррентное соотношение

Для каждого года:

\[ P_{n} = (P_{n-1} \times 1.25) - 285000 \]

где \( P_0 = P \), начальная сумма.

Обратим внимание, что после 4-х выплат долг полностью погашен, то есть:

\[ P_{4} = 0 \]

Расчитаем:

\[ P_{1} = 1.25 P - 285000 \] \[ P_{2} = 1.25 P_{1} - 285000 = 1.25 (1.25 P - 285000) - 285000 \] \[ P_{3} = 1.25 P_{2} - 285000 \] \[ P_{4} = 1.25 P_{3} - 285000 = 0 \]

---

Шаг 4: Раскроем сумму

Рассчитаем \( P_{3} \): \[ P_{3} = 1.25 P_{2} - 285000 \]

Аналогично, подставим \( P_{2} \): \[ P_{2} = 1.25 P_{1} - 285000 \] и \( P_{1} = 1.25 P - 285000 \).

Пояснение: чтобы не усложнять, введем формулу для \( P_{n} \):

\[ P_{n} = (1.25)^n P - 285000 \times \left( (1.25)^{n-1} + (1.25)^{n-2} + \dots + 1 \right) \]

Обратите внимание, что:

\[ P_{n} = (1.25)^n P - 285000 \sum_{k=0}^{n-1} (1.25)^k \]

Итак, для \( P_4 = 0 \):

\[ 0 = (1.25)^4 P - 285000 \sum_{k=0}^{3} (1.25)^k \]

Решим это уравнение относительно \( P \).

---

Шаг 5: Вычислим сумму геометрической прогрессии

\[ \sum_{k=0}^{3} (1.25)^k = \frac{(1.25)^4 - 1}{1.25 - 1} \]

Посчитаем:

\[ (1.25)^4 = (1.25)^2 \times (1.25)^2 \] \[ (1.25)^2 = 1.5625 \] \[ (1.25)^4 = 1.5625 \times 1.5625 = 2.44140625 \]

Подставим:

\[ \sum_{k=0}^{3} (1.25)^k = \frac{2.44140625 - 1}{0.25} = \frac{1.44140625}{0.25} = 5.765625 \]

---

Шаг 6: Найдём начальную сумму \( P \)

Подставим в уравнение:

\[ 0 = 2.44140625 P - 285000 \times 5.765625 \]

Вычислим произведение:

\[ 285000 \times 5.765625 \]

Разделим это на части для точности:

\[ 285000 \times 5.765625 \approx \]

или более точно:

\[ 285000 \times 5.765625 = 285000 \times \left(5 + 0.765625\right) = 285000 \times 5 + 285000 \times 0.765625 \]

Вычислим:

\[ 285000 \times 5 = 1,425,000 \]

и

\[ 285000 \times 0.765625 \approx 285000 \times \frac{123}{160} \text{ (заменяют 0.765625 на дробь)}. \]

Но проще — сделаем это прямо:

\[ 285000 \times 0.765625 = \text{около } 218,828.125 \]

Подробнее:

\[ 285000 \times 0.7 = 199,500 \] \[ 285000 \times 0.065625 = 18,703.125 \]

Итак, сумма:

\[ 199,500 + 18,703.125 = 218,203.125 \]

Общий результат:

\[ 1,425,000 + 218,203.125 \approx 1,643,203.125 \]

Итак:

\[ 0 = 2.44140625 P - 1,643,203.125 \]

Отсюда:

\[ 2.44140625 P = 1,643,203.125 \]

\[ P = \frac{1,643,203.125}{2.44140625} \approx 673,000 \]

---

Ответ:

Первоначальная сумма кредита, взятая в банке, составляет примерно 673 000 рублей.

Если нужны более точные вычисления, можно использовать калькулятор, но результат получается примерно так.