Реши уравнение 9 x 2 + 24 x + 16 = ( x − 2 ) 2 9x 2 +24x+16=(x−2) 2 .
Давайте подробно решим это уравнение:
\[ 9x^2 + 24x + 16 = (x - 2)^2 \]
Шаг 1. Раскроем скобки справа
\((x - 2)^2\) — это квадрат разности, его можно раскрыть по формуле:
\[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \]
Подставляем это в уравнение:
\[ 9x^2 + 24x + 16 = x^2 - 4x + 4 \]
Шаг 2. Перенесем все влево, чтобы уравнение было равно нулю:
\[ 9x^2 + 24x + 16 - x^2 + 4x - 4 = 0 \]
Объединим подобные члены:
\[ (9x^2 - x^2) + (24x + 4x) + (16 - 4) = 0 \]
\[ 8x^2 + 28x + 12 = 0 \]
Шаг 3. Упростим уравнение, вынеся общий множитель
Все коэффициенты делятся на 4:
\[ 2x^2 + 7x + 3 = 0 \]
Теперь у нас квадратичное уравнение:
\[ 2x^2 + 7x + 3 = 0 \]
Шаг 4. Решение уравнения по формуле квадратного уравнения
Формула:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \(a=2\), \(b=7\), \(c=3\).
Подставляем значения:
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2} \]
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4} \]
\[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{4} \]
\[ x = \frac{-7 \pm 5}{4} \]
Теперь находим два решения:
\(\displaystyle x = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle x = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3\)
Итог:
Ответ:
\[ x = -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x = -3 \]
Если нужно более подробно объяснить какой-либо шаг — скажите!
