Давайте подробно решим это уравнение:
[ 9x^2 + 24x + 16 = (x - 2)^2 ]
Шаг 1. Раскроем скобки справа
((x - 2)^2) — это квадрат разности, его можно раскрыть по формуле:
[
(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4
]
Подставляем это в уравнение:
[
9x^2 + 24x + 16 = x^2 - 4x + 4
]
Шаг 2. Перенесем все влево, чтобы уравнение было равно нулю:
[
9x^2 + 24x + 16 - x^2 + 4x - 4 = 0
]
Объединим подобные члены:
[
(9x^2 - x^2) + (24x + 4x) + (16 - 4) = 0
]
[
8x^2 + 28x + 12 = 0
]
Шаг 3. Упростим уравнение, вынеся общий множитель
Все коэффициенты делятся на 4:
[
2x^2 + 7x + 3 = 0
]
Теперь у нас квадратичное уравнение:
[
2x^2 + 7x + 3 = 0
]
Шаг 4. Решение уравнения по формуле квадратного уравнения
Формула:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где (a=2), (b=7), (c=3).
Подставляем значения:
[
x = \frac{-7 \pm \sqrt{7^2 - 4 \cdot 2 \cdot 3}}{2 \cdot 2}
]
[
x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 24}}{4}
]
[
x = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{4}
]
[
x = \frac{-7 \pm 5}{4}
]
Теперь находим два решения:
(\displaystyle x = \frac{-7 + 5}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2})
(\displaystyle x = \frac{-7 - 5}{4} = \frac{-12}{4} = -3)
Итог:
Ответ:
[
x = -\frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x = -3
]
Если нужно более подробно объяснить какой-либо шаг — скажите!
